Что такое Топология?
Работа студентки Куликовой Александры
(ГПОУ «Мариинский политехнический техникум»)
Вступление.
В книге «Наглядная геометрия» (авторы – и ) мне встретились топологические опыты. Тогда я решила:
Познакомиться с разделом математики, именуемымтопологией, рассмотреть спектр вопросов, характеризующих этот раздел.
Выяснить истоки этого возникновения и первооткрывателейэтого направления в науке.
Выявить области применения величайшего открытия человечества – листа Мебиуса в различных областях жизни и деятельности человека.Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии. Как самостоятельная математическая дисциплина она проявилась на пороге ХХ века, являясь одной из самых абстрактных ветвей не только геометрии, но и всей современной математики.
Топология – наука, изучающая свойства топологических пространств, не изменяющиеся при гомеоморфизме. так как поверхности в геометрии и траектории в теории дифференциальных уравнений можно рассматривать как топологические пространства, то топология включает в себя исследования весьма общих свойств этих объектов.
Одним из первых занимался исследованием топологических проблем французский ученый А. Пуанкаре. Он впервые понял, что изучать общие свойства сложных поверхностей, задавая уравнения различных их частей, неудобно. Ему принадлежит идея триангуляции поверхности, идея комплекса и т. п.
Термин « топология» ( по - гречески « топос» , то же, что по - латыни, situs - « место») был впервые введен немецким физиком, математиком и астрономом Иоганом Бенедиктом Листингом (1808-1882) в своей небольшой книге «Предварительные исследования по топологии», изданной в 1847г.
В настоящее время топология бурно развивается, особенно это касается алгебраической топологии. Российская топологическая школа продолжает занимать одно из ведущих мест в мире. Весьма важные результаты в топологии получены математиками , , .
e – ученому - математику широкого профиля, академику АН СССР, лауреату Ленинской премии, Герою Социалистического Труда, одиному из крупнейших математиков современности. принадлежат фундаментальные результаты в области топологии и алгебры. С его именем связаны бурно развивающиеся направления алгебраической и дифференциальной топологии.
Ему удалось, налагая на тополого-алгебраический объект ограничения (аксиомы) весьма общего характера, придти к чрезвычайно конкретным математическим понятиям. Например, непрерывное алгебраическое тело, если оно связно и локально бикомпактно, изоморфно либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов (результат получен в начале 1930-х годов). Позже им было обнаружено взаимно однозначное соответствие между коммутативными бикомпактными топологическими и дискретными группами через группу характеров.
Триангуляция поверхности – разбиение его на конечное множество К треугольников так, чтобы при этом выполнялись свойства: 1)объединение всех треугольников есть все многообразие Х; пересечение любой пары треугольников из К либо пусто, либо совпадает с их общей вершиной или общим ребром.
Многообразие, для которого существует топология, называется триангулируемым.
Чтобы получить некоторое представление о топологии, рассмотрим несколько топологических опытов с поверхностями, полученными из бумажной полоски примерно 30см в длину и 3 см в ширину.
Если склеить полоску, получится простое кольцо. Если склеить полоску, перекрутив один ее конец на 180 градусов, то получим перекрученное кольцо. На простом кольце можно провести непрерывную линию только по одной из двух поверхностей, а на перекрученном – непрерывная линия.
Рис. 1
Этот опыт провел в середине прошлого века немецкий астроном и геометр
Август Мебиус.
Дата рождения: | 17 ноября 1790 |
Место рождения: | Шульпфорте, курфюршество Саксония |
Дата смерти: | 26 сентября 1868 (77 лет) |
Место смерти: | |
Научная сфера: | математика, астрономия |
Место работы: | Плейсенбургская обсерватория |
Альма-матер: | Лейпцигский университет |
Научный руководитель: | Карл Брандан Моллвейде |
Известен как: | автор ленты Мёбиуса |
Он обнаружил, что на перекрученном кольце линия прошла по обеим сторонам, хотя его карандаш не отрывался от бумаги. Оказывается, у перекрученного кольца
( впоследствии его назвали листом Мебиуса) имеется только одна сторона! Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта, самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание не только ученых, но и художников (рис.2).
Рис. 2
Опыты, которые мы предлагаем вам провести с листом Мебиуса подобными ему кольцами, продемонстрируют много интересных и неожиданных свойств. Эти опыты мы проводили при подготовке к конференции. Результаты предлагаем вашему вниманию.
Несколько перекручиваний
Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль (рис. 3). Что получилось?
Рис. 3
Несколько разрезов
Склейте лист Мебиуса шириной 5 см. Что получится, если разрезать его вдоль, отступив от края сначала на 1 см, затем на 2 см, на 3 см, на 4 см (рис. 4)
Рис. 4
Несколько лент
Приготовьте два кольца: одно простое и одно перекрученное. Склейте их, как показано на рисунке 5, а затем оба разрежьте вдоль. Каков результат разрезания?
Рис. 5
Солдатик – перевертыш
Вырежьте из бумаги солдатика с рисунка 6 и отправьте его вдоль пунктира, идущего по середине листа Мебиуса. В каком виде солдатик вернется к месту старта.
Рис. 6
Лист Мебиуса – один из объектов топологии.
К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. В подобных задачах требуется начертить какую - либо фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии
Можете испытать свои силы в вычерчивании одним росчерком фигур, изображенных на рисунке 7. Какие-то из этих фигур вам удалось вычертить почти сразу, решение других пришло через некоторое время, а третьи вообще не рисуются. Почему так происходит? Давайте разберемся вместе.
Рис. 7
Начертите связную сеть кривых, как на рисунке 8.
Рис. 8
Сеть таких кривых называют ГРАФОМ (от греческого слова grapho - « пишу»). Условимся точки, в которых соединяются кривые, называть УЗЛАМИ. На нашем графе пять узлов, причем три из них четные (первый, второй и третий – в них соединяется четное число линий), а две не нечетные (четвертый и пятый – в них соединяется нечетное число линий). Эту фигуру можно начертить одним росчерком. А вот домик с дверью на рисунке 9 – уже иная фигура. Она содержит девять узлов, пять из которых четные, а четыре - нечетные.
Рис. 9
Если в фигуре четных узлов больше двух, то ее нельзя нарисовать одним росчерком.
Зная свойства (листа) ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи, например:
Вязаная шапочка и шарф в форме листа Мебиуса:
Все свои находки по данному вопросу я разместила в презентации «Лист Мёбиуса».
Заключение
В результате выполнения этого проекта я узнала, что:
Существует односторонняя поверхность – лист Мебиуса. Он обладает удивительными свойствами. Лист Мебиуса (лента Мебиуса) используется в жизни. Она волнует ученых – математиков, литераторов и художников. Зная свойства Ленты Мебиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи. Лентой Мебиуса пользуются как лейблом на производстве.ЛИТЕРАТУРА
1. «Геометрия 10-11», для классов естественно –научного профиля, 2001 г.
2. , «Наглядная геометрия», 2002 г.
3. Большой Энциклопедический словарь, 2004 г.
4. Энциклопедический словарь юного математика, 1985 г.
5. «История математики в школе», 1983 г.
6., и др. «Математика в понятиях, определениях и терминах», 1982 г.
7. Александров в теорию множеств и общую топологию. М. Наука, 1977, стр. 68.
8. , Математика в понятиях и терминах. М. «Просвещение», 1982
9. Интернет
рис. 10 рис. 11
Добавьте на рисунке 10 еще один мост так, что бы можно было совершить переход через все мосты, побывав на каждом по одному разу, и вернуться в ту же часть города, откуда началось путешествие.Оса забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли оса последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру?
Начертите фигуры (рис.11) одним росчерком (пронумеруйте отрезки в той последовательности, в какой вы их проходили).
На рисунке 12 изображен план подземного лабиринта (подвала из 16 комнат, соединенных дверьми). Можно ли начиная с комнаты 1, обойти комнаты так, что бы пройти через все двери всех комнат только один раз?
В какой комнате закончился такой обход?
У к а з а н и е. Замените комнаты точками, а двери - дугами и постройте соответствующий граф.
рис. 12
На рисунке 13 изображен план подвала из десяти комнат. Можно ли пройти через все двери всех комнат, запирая каждый раз ту дверь, через которую вы проходите? С какой комнаты надо начинать движение?
рис. 13
Докажите, что число нечетных узлов графа всегда четно.Лист Мебиуса
Кристина Сергеевна Козик
(ГОУ СПО «Мариинский лесотехнический техникум», группа ТД – 31)
Цели работы: 1. Познакомиться с разделом математики, именуемым топологией,
рассмотреть спектр вопросов, характеризующих этот раздел.
2. Выяснить истоки этого возникновения и первооткрывателей этого
направления в науке.
3. Выявить области применения величайшем открытии человечества - листа
Мебиуса в различных областях жизни и деятельности человека.
Методы работы: 1. Проведение опытов с лентой Мебиуса.
2. Исследование информационных ресурсов о – величайшем открытии
человечества - листе Мебиуса.
Заключение
В результате выполнения этого проекта я узнала, что:
Существует односторонняя поверхность – лист Мебиуса. Он обладает удивительными свойствами. Лист Мебиуса (лента Мебиуса) используется в жизни. Она волнует литераторов и художников. Зная свойства Ленты Мебиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи.ЛИТЕРАТУРА
1. «Геометрия 10-11», для классов естественно –научного профиля, 2001 г.
2. , «Наглядная геометрия», 2002 г.
3. Большой Энциклопедический словарь, 2004 г.
4. Энциклопедический словарь юного математика, 1985 г.
5. «История математики в школе», 1983 г.
6., и др. «Математика в понятиях, определениях и
терминах», 1982 г.
7. Интернет
