Энтропийный анализ пространственного распределения галактик

*, ,

Казахский национальный университет имени аль-Фараби,

Алматы, 050040, Казахстан

*E-mail: aldiyar. *****@***com

ЭНТРОПИЙНЫЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЛАКТИК

Аннотация. Проведен энтропийный анализ радиальных распределений крупномасштабной структуры Вселенной. Исследование проводилось на основе каталога красных смещений SDSS. В качестве метода исследования используется энтропия Шеннона, нормированная на энтропию Реньи. Выбор данной методики связан с особенностями изучаемого процесса как фрактального, перемежаемого явления. Получены зависимости величины мультифрактальной размерности от дальности галактик. Показано, что именно нормированная энтропия на энтропию Реньи может оставаться постоянной на расстояниях более 600 Мпс.

Ключевые слова: энтропия, крупномасштабная структура Вселенной, мультифрактальная размерность, энтропия Реньи.

Введение

Пространственное распределение галактик отражает в себе как начальные условия в ранней Вселенной, так и ход эволюции первичных возмущений плотности. Такие флуктуации приводят к образованию кластеров, нитей и пустот что мы и наблюдаем. Последние обзоры красных смещений показывают наличие структурности во Вселенной, простирающейся на сотни мегапарсек [1]. Тем самым вопрос поиска новых методов описания больших и сверхбольших структур является актуальным. При этом появление подобной иерархии происходит на фоне космического вакуума, среды с отрицательным давлением [2].

Согласно закону термодинамики

                       (1)

при обращении в нуль , при условии постоянства энтропии плотность энергии по величине равна давлению:

                       (2)

Следовательно, среда имеет свойства вакуума.

В настоящей работе подобное свойство системы предлагается искать на основе распределения материи в пространстве, анализируя крупномасштабную структуру Вселенной

Методика анализа структур

Исследованию структурности во Вселенной посвящено множество работ, в которых предлагаются различные, статистические методы исследования структур, в том числе методы двухточечного корреляционного анализа, условной плотности, радиальных распределений [3-4]. Наряду с этим проводятся численные моделирования, приводящие к образованию подобных структур в рамках космологических сценариев [5-7].

В данной работе за основу берем разработанный в статье [8] метод энтропийного анализа. Авторами выдвигается идея поиска энтропии и ее нормы исходя от особенностей изучаемого процесса как фрактального, перемежаемого явления. Таким является череда пустот и нитей крупномасштабной структуры Вселенной. Кроме того появляется возможность интерпретации полученных результатов в рамках теории самоорганизации, как эволюцию открытой системы [9].

Идея метода состоит в нормировании классической, информационной энтропии Шеннона (3) на энтропию Реньи (4), определенную через мультифрактальную размерность (5), где параметр неоднородности определяется исходя из экспериментальных данных (6).

                       (3)

                               (4)

                       (5)

                       (6)

здесь, – число заполненных ячеек разбиения с характерным масштабом . – общее число точек (отсчётов), – среднее число точек по всем ячейкам. По смыслу является вероятностью обнаружения среднего значения точек по всем ячейкам минимальной прямоугольной области, ограничивающий объект.

Анализируются радиальные распределения крупномасштабной структуры данным методом. Радиальное распределение – это зависимость , такая, что

                       (7)

где – нормированная энтропия галактик, лежащих на расстоянии от до . При этом рассчитывается энтропия в сферической оболочке толщиной , середина которой находится на расстоянии, соответствующем R, то есть формула (7) переходит в:

                       (8)

таким образом, S может быть вычислена в объемах с некоторым выбираемым шагом по .

Результаты исследований

В настоящей работе использованы данные о красных смещениях галактик из каталога SDSS [1] (на момент написания статьи последней является – Data Release 12). Каталог доступен на сайте “http://www. sdss. org/dr12”. В выборку вошли 1.835.000 объектов с красными смещениями в диапазоне .

По сформулированным в работе [3] принципам, для корректности расчетов необходимо выполнение 2-ух условий:

Выборка из каталога в исследуемой области неба должна быть наиболее полной. Максимальные размеры ячеек разбиения не должны превосходить размер полностью обозреваемого телесного угла.

Для удовлетворения 1-го условия, построим распределение галактик по красным смещениям (Рис. 1)

Рисунок 1 – Распределение галактик по красным смещениям

Исходя из графика примем наибольшее расстояние равным 0,8z, что соответствует 2200 Мпс.

Перейти из красных смещений ‘z’ на расстояния в ‘Мпс’ можно используя релятивистский случай эффекта Доплера [10] в виде:

                               (9)

учтем, что, а значение постоянной Хаббла согласно [11] . Построим пространственное распределение галактик в 3-х мерной декартовой системе координат в единицах ‘Мпс’ (Рис. 2).

Рисунок 2 – Пространственное распределение галактик по данным каталога SDSS в декартовой системе, центрированной на наблюдателя

По условию 2, чтобы добиться наибольшего размера ячейки для покрытия сверхбольших структур, и при этом лежащей в полностью обозреваемом телесном угле – оптимально подобранным вариантом стал куб с гранями в 1000х200х250 Мпс способный располагаться на расстоянии более 600 Мпс от центра (и менее 2200 Мпс – согласно условию 1).

Вышеописанный метод энтропийного анализа (3-6) применялся на объемы в различных направлениях, но лежащих на одних и тех же расстояниях , затем, подсчитывалась средняя суммы энтропии соответсвующий . Подобным образом расчитывались значения с некоторым шагом по .

На (Рис. 3) представлены значения мультифрактальной размерности (5) как функции от расстояния, зависимость параметра неоднородности (6) от расстояния показана на (Рис. 4). Энтропия Шеннона (3), нормированная на однородное распределение () и на энтропию Реньи (*) как функции от расстояния изображены на (Рис. 5).

Рисунок 3 – Зависимость мультифрактальной размерности от расстояния.

Рисунок 4 – Зависимость параметра неоднородности от расстояния.

Рис. 4 – Энтропия Шеннона нормированная на однородное распределение (треугольники) и на энтропию Реньи (звездочки).

Сплошные линии – критерии самоподобия энтропии (0,806) и информации (0,567) согласно теории, предложенной [9].

Заключение

В результате обработки наблюдательных данных по каталогу SDSS энтропийным методом, обнаружено, что энтропия Шеннона, нормированная на энтропию Реньи на далеких расстояниях (более 600 Мпс) постоянна, прирост энтропии ; Это может является следствием однородности распределения вещества обладающей отрицательным давлением в пространстве. Однако прирост энтропия Шеннона, нормированная на однородное распределение . Однородность убывает обратно пропорционально расстоянию. Также, в пользу нерегулярности распределения галактик говорит динамика мультифрактальной размерности и параметра , имеющие локальные экстремумы.

Если рассматривать далекие галактики как находящиеся на более раннем этапе эволюции Вселенной, так как свет от них “идет” миллиарды лет, можно предполагать, что в процессе эволюции имеется тенденция к структуризации. Согласно работе [9] системы с подобным поведением характеризуются как неоднородные

Список литературы

Shadab Alam, Franco D. Albareti, Carlos Allende Prieto et. al., The Eleventh and Twelfth Data Releases of the Sloan Digital Sky Survey: Final Data from SDSS-III // arXiv:1501.00963v3 (may 2015) , Темная энергия и всемирное антитяготение // УФН, Том 178 (3), с. 267 – 300, 2008. , рактальный анализ крупномасштабного распределения галактик. // Бюлл. Спец. Астрофиз. Обсерв. 2006. Т. 59. С. 92 – 160. , Статистические свойства пространственного распределения галактик // Астрофизический бюллетень Том 64(3), 2009. Joop Schaye et. al., The EAGLE project: Simulating the evolution and assembly of galaxies and their environments // MNRAS, Vol. 446, pp. 521, 2015 Samuel W. Skillman et. al., Dark Sky Simulations: Early Data Release // arXiv:1407.2600v1 (2014) A. Vikhlinin, A. V.Kravtsov et. al., Chandra Cluster Cosmology Project III: Cosmological Parameter Constraints // Astrophys. J., Vol. 692, pp. 1060-1074, 2009 Z. Zh. Zhanabaev, Y. T. Kozhagulov, S. A. Khokhlov Scale invariance criteria of dynamical chaos // International Journal of Mathematics and Physics 4, №2, pp. 29-37 (2013). Zhanabaev  Z. Zh. Information properties of self-organizing systems // Rep. Nat. Acad. Of Science RK. – 1996. - №5. –P.14-19. Sartori L., Understanding Relativity – University of California Press. p.163, Appendix 5B. ISBN 0-520-20029-2. Planck Collaboration, Planck 2013 results. I. Overview of products and scientific results // Astronomy & Astrophysics manuscript no. Planck Mission, 2014.

, ,

Казахский национальный университет имени аль-Фараби,

Алматы, 050040, Казахстан

ЭНТРОПИЙНЫЙ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЛАКТИК

Аннотация. Проведен энтропийный анализ радиальных распределений крупномасштабной структуры Вселенной. Исследование проводилось на основе каталога красных смещений SDSS. В качестве метода исследования используется энтропия Шеннона, нормированная на энтропию Реньи. Выбор данной методики связан с особенностями изучаемого процесса как фрактального, перемежаемого явления. Получены зависимости величины мультифрактальной размерности от дальности галактик. Показано, что именно нормированная энтропия на энтропию Реньи может оставаться постоянной на расстояниях более 600 Мпс.

Ключевые слова: энтропия, крупномасштабная структура Вселенной, мультифрактальная размерность, энтропия Реньи.

, ,

әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық университеті,

Алматы, 050040, Қазақстан

ГАЛАКТИКАЛАРДЫҢ КЕҢІСТІКТЕ ТАРАЛУЫН ЭНТРОПИЯЛЫҚ ТАЛДАУ

Түйіндеме. Әлемнің аса-ірі құрылымының радиалдық таралуы энтропиялық әдіспен талданды. Зерттеу жұмысы SDSS – қызыл ығысулар каталогы негізінде жүргізілді. Зерттеу әдісі ретінде Реньи энтропиясына нормаланған, Шеннон энтропиясы қолданылды. Бұл тәсілді таңдау – зерттеліп отырған процесстің фракталдық ерекшеліктерімен түсіндіріледі. Нәтижесінде мультифракталдық өлшемділіктің галактикаларға дейінгі қашықтықтан тәуелділігі алынды. Сонымен қатар, Реньи энтропиясына нормаланған энтропияның мәні 600 Мпс-тен алыс қашықтықтар үшін тұрақты болатыны көрсетілді.

Кілт сөздер: энтропия, Әлемнің аса-ірі құрылымы, мультифракталдық өлшемділік, Реньи энтропиясы.

A. T. Agishev, A. leimenova, A. A. Khokhlov, A. S. Beisebaeva

al-Farabi Kazakh National university,

Almaty, 050040, Kazakhstan

ENTROPY ANALYSIS OF THE SPATIAL DISTRIBUTION OF GALAXIES

Abstract. In that work we executed entropy analysis for a radial distribution of Large-scale structure of the Universe. Research is based on SDSS catalog of redshifts. As a method of study used Shannon entropy normalized to the Renyi entropy. The choice of this method is associated with fractal properties of structure. Values of multi-fractal dimension depend on distance to galaxies are plotted. It has been shown that entropy normalized to the Renyi entropy can remain constant over distances more than 600 Mpc.

Key words: entropy, the large-scale structure of the Universe, multifractal dimension, Renyi entropy.