Билет №3

Билет №3 Сформулировать определение отношения порядка и упорядоченного множества. Непрерывные и монотонные отображения упорядоченных множеств. Доказать что всякое непрерывное отображение монотонно. На множестве R задано бинарное отношение ф: x ф y <=> x – y < 1 Построить график и исследовать свойства РИСАТ отношения ф. Установить порядок или эквивалентность. Пусть (G, ∙) – группа. Доказать, что является подгруппой G тогда и только тогда когда для любых выполнено В мультипликативной группе поля Z29 найти циклическую подгруппу H порожденную a = 7. Используя результат найти а-1 и решить (в Z29) уравнение axb=c для b = 20, c = 3

Билет №5 Понятие множества. Способы задания множеств. Отношение принадлежности и включения. Определение характеристической функции множества. Свойства характеристических функций. Метод характеристических функций доказательства теоретико-множественных тождеств. С использованием метода 2-х включений доказать тождество:­­­ с, ф, у – бинарные отношения Пусть K – кольцо с единицей, не содержащее делителей нуля. Доказать, что всякий односторонне обратимый элемент кольца K обратим. В мультипликативной группе поля Z31 найти циклическую подгруппу, порожденную элементом 8. Построить класс смежности (по этой подгруппе), содержащей элемент 5.

Билет №8 С использованием метода характеристических функций проверить тождество. На множестве R2 задано бинарное отношение ф: (x1,y1) ф (x2,y2) <=> x12 + y12 = x22 + y22 Показать, что ф – отношение эквивалентности. Изобразить графически класс эквивалентности, порожденный элементом . Чем однозначно определяется каждый класс эквивалентности по этому отношению? Проверить, является ли кольцом алгебра , где M – некоторое множество? В случае положительного ответа проверить, является ли A коммутативным кольцом? Целостным кольцом? Полем? Указание. Основные теоретико-множественные тождества считать доказанными. На множестве M определена ○ по правилу x○y = x. Установите, является ли алгебра (M, ○ ) полугруппой. Существуют ли в ней правые (левые) нейтральные элементы? Как зависит ответ от числа элементов множества М?

Билет №9 Сформулировать определение отношения эквивалентности. Примеры. Определение и свойства классов эквивалентности. Понятие фактор-множества. Теоремы о связи отношения эквивалентности и разбиения множества. С использованием метода 2-х включений доказать тождество:­­­ с, ф, у – бинарные отношения Сформулировать определение нейтрального и обратного элементов. Доказать единственность нейтрального и обратного элементов, если они существуют (в случае обратного элемента операция предполагается ассоциативной) В поле Z7 решить систему уравнений:

Билет №11 С использованием метода характеристических функций проверить тождество. Сформулировать отношение порядка. Пусть ф – бинарное отношение на множестве N: Является ли ф отношением порядка? Если да, установить, существуют ли наименьший и наибольший элементы по отношению к ф? Является ли порядок линейным? Сформулировать определение подгруппы и (левого) смежного класса. Доказать свойства левых смежных классов. Теорема Лагранжа. Сформулировать определение нейтрального элемента. В мультипликативной группе поля решить уравнение в Z11.

Билет №12 Доказать, что пара , где М – фиксированное множество является индуктивно упорядоченным множеством, а отображение , непрерывно. Найти наименьшую неподвижную точку этого отображения. С использованием метода 2-х включений доказать тождество:­­­ с, ф – бинарные отношения на множестве А К какому типу (группоид, полугруппа, моноид, группа) относится алгебраическая система (D36, НОК), где D36 – множество делителей числа 36, и НОК(m, n) наименьшее общее кратное чисел m и n. В поле Z7 решить систему уравнений:

Билет №16 Сформулировать определение кольца с единицей. Доказать, что если в кольце с единицей обратимы элементы xy и yx, то x и y тоже обратимы. На множестве задано бинарное отношение ф: Доказать, что ф является эквивалентностью. Для элемента найти порождаемый им класс эквивалентности. Чем однозначно определяется каждый класс эквивалентности? К какому типу (группоид, полугруппа, моноид, группа) относится алгебраическая система , где: а операция определена правилами: В мультипликативной группе поля Z23 найти циклическую подгруппу, порождаемую элементом 7 и класс смежности этой подгруппы, порождаемый элементом 4.

Билет №б/н Сформулировать определение кольца. Определение и примеры делителей 0. Доказать, что в конечном кольце с единицей любой элемент, не являющийся правым делителем нуля обратим слева. На множестве R2 задано бинарное отношение ф: (x1,y1) ф (x2,y2) <=> x1 ≤ x2, y1 ≤ y2 Показать, что ф – отношение порядка. Является ли порядок линейным? Найти множество нижних и верхних граней множества M={p, q}, где p=(1, 2) и q=(2, 1). Указать inf(M) и sup(M) если последние существуют. Дать графическую иллюстрацию. Сформулировать определение степени мультипликативно записываемой группы. Сформулировать свойства степеней. Понятие циклической группы. Являются ли циклическими группы В поле Z11 решить систему уравнений: