Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия газа

Практикум 11. Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия газа.

Основное уравнение кинетической теории газов

  (1)

где - концентрация молекул, - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Часто используют другую форму основного уравнения кинетической теории газов

  (2)

где Дж/К – постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы

  (3)

Число степеней свободы молекулы

         (4)

где - число поступательных степеней свободы, - число вращательных степеней свободы, - число колебательных степеней свободы.

Средняя квадратичная (тепловая) скорость молекул

  (5)

Средняя арифметическая скорость молекул

  (6)

Наиболее вероятная скорость молекул

  (7)

где - масса частицы.

Внутренняя энергия идеального газа

  (8)

где - число моль газа.

Степенью диссоциации называют отношение числа молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул.

Пример 11.1. Раскаленная атмосфера Солнца (солнечная корона) имеет температуру 2 млн К и давление 0.030 Па. Какова средняя квадратичная скорость свободных электронов?

Дано

	Решение Если предположить, что ад существует, то я бы его поместил не в центре Земли, а в корону Солнца (без комментариев, см. фото)
Па К

Исходя из (5), учитывая, что масса электрона кг, получаем м/с. Как видим, информация относительно давления электронного газа нам не потребовалась.

Ответ: м/с.

Пример 11.2. Кислород массой 12 г находится при температуре 973 К, при этом 40% молекул диссоциировано на атомы. Чему равна средняя энергия теплового движения частиц? Колебательные степени свободы молекул кислорода «заморожены»

Дано

	Решение Составим расчетную формулу, учитывая что средняя тепловая энергия молекулы кислорода равна и средняя тепловая энергия атома кислорода . При высокой температуре молекул диссоциировало на
кг,
К, кг/моль ,

атомы, поэтому расчетная формула будет иметь такой вид , где - число молекул кислорода, - число атомов кислорода, .

Подставляя заготовки в выражение для и приводя подобные члены, получаем

Ответ: Дж

Пример 11.3. У газа, состоящего из четырехатомных объемных молекул, при температуре 1000 К возбуждаются все степени свободы (включая колебательные). Найти среднюю энергию молекулы такого газа. Какая часть этой энергии этой  энергии приходится на долю поступательного движения? Найти внутреннюю энергию одного моль этого газа.

Дано

	Решение Согласно (4) число степеней свободы такой молекулы равно , где , , , тогда . Средняя энергия молекулы газа равна   и
К

Дж. Доля энергии, приходящаяся на поступательное движение равна . Внутренняя энергия одного моля газа, согласно (8), равна Дж.

Ответ: Дж, , кДж.

Пример 11.4. При какой температуре энергия теплового движения атомов гелия будет достаточной для того, чтобы преодолеть земное тяготение и навсегда покинуть земную атмосферу?

Дано

	Решение Скорость, с которой тела могут покинуть
кг/моль

нашу планету называется второй космической скоростью равной км/с, где - ускорение свободного падения, км - радиус Земли. Считаем, что равна тепловой средней квадратичной скорости (5), тогда и искомая температура равна , подставляя численные значение, получаем К. 

Ответ: кК

Пример 11.5. На пути пучка молекул, излучаемых молекулярной «печкой» с температурой 2000 К, находится медная стенка, на которой молекулы оседают. Найти давление, испытываемое стенкой, если концентрация молекул в пучке м3. Стенка расположена перпендикулярно пучку.

Дано

	Решение Исходить будем из второго закона Ньютона, записанного в форме , где - изменение импульса равно и
К
м3

, тогда импульс силы, передаваемой стенкой, согласно третьему закону Ньютону, . Будем считать, что все молекулы пучка движутся с одной скоростью в одном направлении, тогда давление молекулярного пучка на стену равно . Пусть , тогда . Тепловая скорость молекул определяется по (5) и , тогда искомое давление пучка на стенку равно Па.

Ответ: Па.

Пример 11.6. При определении скорости атомов серебра по методу Штерна установлено, что при вращении цилиндра А против часовой стрелки со скоростью 2400 об/мин середина серебряной полоски на медном полированном цилиндре сместилась на 3.2 мм. Определить скорость атомов серебра, если радиус цилиндра А м, а соосного с ним цилиндра В м. Сравнить полученный результат со средней квадратичной скоростью (5) и найти относительную погрешность, если температура нити равна 2000 К.

Дано

	Решение Расстояние от внутреннего цилиндра до полированной поверхности внешнего цилиндра частица пролетит за время , где скорость частиц атомного пучка. За это время полета внешний цилиндр повернется на угол , связанный с длиной отрезка
рад/с м, м, мм, К, кг/моль

дуги , тогда . Приравнивая правые

час

ти полученных выражений , находим искомую скорость атомов серебра в пучке

м/с.

Найдем тепловую скорость, соответствующую температуре пучка атомов серебра м/с.

Эксперимент имеет более высокий статус, поэтому определим относительную ошибку скорости частиц пучка так:

Ответ: м/с,

Самостоятельная аудиторная работа.

А11.1. Самая низкая температура в космосе составляет 2.7 К. Какова среднеквадратическая скорость молекул водорода при такой температуре?

А11.2. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул водорода, содержащихся в одном моль при 291 К.

А11.3. Средняя энергия молекул одноатомного идеального газа равна Дж. Давление газа 0.2 МПа. Найти концентрацию молекул газа.

А11.4. Найти внутреннюю энергию 20 г кислорода при температуре 293 К. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая на вращательное движение?

А11.5. Найти внутреннюю энергию двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом 2 л под давлением 0.15 МПа.

А11.6. Как изменится средняя квадратичная скорость молекул кислорода, находящихся в сосуде объемом 2.5 л при нормальных условиях, если газ расширяется до объема 5 л: а) изотермически; б) изобарически?

А11.7. На пути направленного молекулярного пучка, излучаемого накаленной нитью, в вакууме стоит «зеркальная стенка». Найти давление, испытываемое этой стенкой, если температура нити, из которой вылетают атомы серебра, равна 1500 К, концентрация атомов в пучке 1011 м-3, стенка расположена перпендикулярно направлению движения частиц в пучке.

Задание на дом:

В11.1. Определить давление идеального газа при двух значениях температуры газа 3 К и 1000 К. Принять концентрацию молекул газа равной см-3.

В11.2. В колбе вместимостью 100 см3 содержится некоторый газ при температуре 300 К. На сколько понизится давление газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет 1020 молекул?

В11.3. Давление газа 1 мПа, концентрация его молекул см-3. Определить температуру газа и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа.

В11.4. Определить среднюю кинетическую энергию   поступательного движения и среднее значение полной  кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре 600 К. Найти кинетическую энергию поступательного движения всех молекул пара, содержащего один киломоль вещества.

В11.5. Определить среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень свободы молекулы азота, при температуре 1000 К, а также среднюю кинетическую энергию поступательного движения, среднюю кинетическую энергию вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы азота.

Ответы:

А11.1. м/с. А11.2. кДж. А11.3 м-3. А11.4. кДж, кДж, кДж. А11.5. Дж. А11.6. а) , м/с. А11.7. Па.

В11.1. Па, кПа. В11.2. кПа. В11.3 кК, Дж. В11.4. Дж, Дж, МДж. В11.5. Дж, Дж, Дж, Дж.

Литература

, Задачник по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1986. – 432 с. Общий курс физики. Том 1. Механика. М.: Наука, 1983. -688 с.