Задание № 5

Задание № 5

Три друга — Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один — на трамвае, один — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крик­нул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!». Кто на чем ездит домой?

Решение. При решении задачи удобно пользовать­ся таблицей:

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша
Боря
Витя

  Договоримся отмечать в таблице результат, по­лученный в ходе логических рассуждений, знаком «+» положительный, а знаком «-» отрицательный. Видим, что в задаче речь идет о двух множествах: множестве имен и множестве видов транспорта, на котором ребята едут домой. Обращаем внимание на то, что между этими множествами установлено вза­имно однозначное соответствие, то есть каждому элементу первого множества соответствует единствен­ный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два раз­личных элемента второго множества. Какая карти­на будет наблюдаться при заполнении таблицы в данном случае?

В каждом столбце — только один знак «+», в каж­дой строке — только один знак «+». Поэтому, если в какой-то из клеток появляется знак «+», то все ос­тальные клетки в данной строке и в данном столбце заполняем знаками «-».

Выделяем ключевые условия.

  Алеша провожает друга до остановки автобуса.   Крик из троллейбуса: «Боря, ты забыл тетрадку».

Анализируя каждое из условий, заполняем таб­лицу. Из условия (1) делаем вывод о том, что Алеша не ездит на автобусе — ставим знак «-» в ячейку <автобус — Алеша>. Из условия (2) делаем вывод о том, что в троллейбусе едет не Боря — ставим знак «-» в ячейку <троллейбус — Боря>. Таблица при­нимает вид:

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша	-(1)
Боря	-(2)
Витя

Из (1) и (2) — в троллейбусе едет не Алеша (он про­вожает друга до остановки автобуса). Ставим знак «-» в ячейку <троллейбус — Алеша>.

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша	-(1)	-
Боря	-(2)
Витя

В каждой строке или столбце обязательно есть знак « + ». Из таблицы видим, что в первой строке два знака «-», значит, в ячейке <трамвай — Алеша> ставим знак «+».

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша	-(1)	-	+
Боря	-(2)
Витя

В столбике <трамвай> может быть только один знак «+» (соответствие однозначное), поэтому ячей­ки <трамвай — Боря> и <трамвай — Витя> запол­няем знаками «-»:

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша	-(1)	-	+
Боря	-(2)	-
Витя	-

В столбике <троллейбус> два знака «-» уже есть, значит, последнюю ячейку заполняем знаком «+». В строке <Боря> — аналогично. Теперь таблица при­нимает вид:

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша	-(1)	-	+
Боря	+	-(2)	-
Витя	+	-

В столбце <автобус> есть знак «+», поэтому ячей­ку <автобус — Витя> заполняем знаком «-».

Автобус	Троллейбус	Трамвай
Алеша	-(1)	-	+
Боря	+	-(2)	-
Витя	-	+	-

Ответ: Алеша поедет на трамвае, Боря — на ав­тобусе, Витя — на троллейбусе.

2. Собрались три попугая – Гоша, Кеша и Рома. Один из них всегда говорит правду, другой всегда лжёт, а третий – хитрец, он иногда говорит правду, иногда лжет. На вопрос: «Кто Кеша?» - попугаи ответили так:

Гоша: - Кеша лжец.

Кеша: - Я хитрец!

Рома: - Он абсолютно честный попугай.

Кто же из попугаев честный, кто лжец, а кто хитрец?

Рома не может быть честным, т. к. тогда и Кеша честный, что невозможно. Значит Рома либо лжец, либо хитрец.

Пусть Рома лжец. Тогда Кеша хитрец (он не может быть лжецом, ибо лжец Рома, и не может быть честным, поскольку тогда его высказывание ложно). Но тогда Гоша должен быть честным, но этому противоречит его высказывание.

Отсюда следует, что Рома хитрец. Тогда Кеша, судя по его высказыванию, лжец, а для Гоши остается только возможность быть честным. Его высказывание действительно истинно. А из Роминого высказывания следует, что в данном случае он (Рома) солгал. Так, честный – Гоша, хитрец – Рома, лжец – Кеша.

Ответ: честный – Гоша, хитрец – Рома, лжец – Кеша.

Десять команд участвуют в футбольном турнире. Докажите, что независимо от расписания игр всегда найдутся хотя бы две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

Если в турнире каждая команда играет с каждой, то каждая команда должна провести не более 9 игр.

Предположим, что в какой-то момент времени все команды сыграли по несколько игр ( от 0 до 9), и у всех разное количество сыгранных игр.

Т. е. первая сыграла 1 игру, вторая - 2, третья - 3, ..., 10-я 0. Значит на этот момент времени было сыграно всего (1+2+3+...+9+ 0) / 2 = ((1+9)*9/2) /2 = 45 / 2 = 22,5 игр. А этого быть не может.

Возникает вопрос, почему делим на 2?

Так как каждая игра в сумме учитывается 2 раза ( 1-й со 2-м и 2-й с 1-м — это 1 игра, а подсчитали ее 2 раза.), то и делим на 2.

Значит, невозможно, что все команды на конкретный момент времени сыграют разное количество матчей, поэтому, хотя бы 2 имеют одинаковое количество игр.

Изобразим каждого участника драматического кружка точкой, а все их пожелания будем изображать линиями. Видно, что Осипа будет играть Дима, Вова – Землянику, Гена – Ляпкина – Тяпкина, Алик и Боря – Хлестакова и Городничего.

5. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третим кругом - тех, кто знают немецкий. Тогда, например, те, кто владеет и английским и немецким, "попадут" в общую часть первого и третьего круга.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Ответ: только английским владеет 13 человек, только французским - 30, только немецким - 20 человек. 20 человек не знают ни одного из этих языков.