Непараметрический медианный доверительный интервал

Непараметрический медианный доверительный интервал

МГУ имени , факультет ВМК (г. Москва)

В экспериментальной практике при оценке наибольшего сосредоточения («центра») распределения наблюдаемых значений случайной величины (с. в.) часто вместо среднего значения (математического ожидания) используют медиану. В данной работе выводится непараметрический доверительный интервал для медианы, являющийся альтернативой известным параметрическим его аналогам, приводятся модельные расчеты.

Пусть порядковые статистики выборки с. в. , имеющей абсолютно непрерывное  распределение с функцией распределения (ф. р.) и медианой . Рассмотрим с. в. , которая для любого действительного числа равна числу элементов выборки , значения которых не превосходит , где — индикаторная функция множества . Как известно[1,с.130], с. в. распределена по биномиальному закону . Тогда событие , что не менее элементов выборки имеют значения, не превосходящие , эквивалентно событию . С учетом последнего факта справедливы следующие равенства

где — обозначает число сочетаний из по , Таким образом, для заданных можно рассчитать значение , такое что

                               (1)

Величина является доверительной вероятностью медианного доверительного интервала (1). Для вычисления при различных значениях можно применить рекуррентное соотношение

Справедливость последнего следует из очевидной рекуррентной формулы и последовательности следующих равенств:

Для примера в таблице ниже приведены несколько рассчитанных начальных значений

k\n	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0
1	0	0	0.5	0.75	0.875	0.9375	0.9688	0.9844
2	0	0	0	0.25	0.5	0.6875	0.8125	0.8906
3	0	0	0	0	0.125	0.3125	0.5	0.6563
4	0	0	0	0	0	0.0625	0.1875	0.3438
5	0	0	0	0	0	0	0.0313	0.1094
6	0	0	0	0	0	0	0	0.0156
7	0	0	0	0	0	0	0	0

Как видно из таблицы, для заданного получаем множество симметричных медианных -доверительных интервалов. Чем больше величина , тем разнообразнее выбор вероятностей, а, следовательно, и интервалов. Так, при имеем три интервала с соответствующими доверительными вероятностями 0.9688, 0.8125, 0.5 покрытия медианы распределения наблюдаемой с. в. , а при имеем четыре интервала с доверительными вероятностями 0.9844, 0.8906, 0.6563, 0.3438.

Как известно[1,с.129], существует связь между порядковыми статистиками и выборочными -квантилями являющимися выборочными асимптотически нормальными, несмещенными и состоятельными оценками их теоретических аналогов, определяемых как или в нашем случае непрерывной ф. р. . Тогда каждому доверительному интервалу (1) при заданных соответствует множество симметричных интерквантильных интервалов для всех , поскольку, если число дробное, то целая его часть , тогда и . Из этого следует, что с вероятностью в интервал попадают значения с. в. с ф. р. , а вероятность попадания значений с. в. левее этого интервала равна вероятности их попадания правее его и обе равны . В силу этого свойства интерквантильный размах часто используется в практике как мера разброса с. в. . Для однозначного определения значения из интервала разумно взять среднее значение . Тем самым, для любого заданного можно рассчитать последовательность значений порядков симметричных квантилей , интервал между которыми с вероятностью покрывает медиану. В следующей таблице представлены значения для некоторых начальных .

k\n	1	2	3	4	5	6	7
1	0.5	0.25	0.167	0.125	0.10	0.083	0.071
2	0	0	0.5	0.375	0.30	0.250	0.214
3	0	0	0	0	0.5	0.416	0.357
4	0	0	0	0	0	0	0.5

В приведенной ниже таблице на примере стандартного нормального распределения , для которого медиана равна среднему, показаны результаты модельных расчетов доверительного интервала (1) и соответствующих ему характеристик при различных значениях и объемах сгенерированных выборок, чтобы значения были близки к 0.95. Все вычисления были проведены в пакете MATLAB.

n	k
38	14	0.9506	0.3553	-0.6454	0.0250	0.6447
39	14	0.9635	0.3462	-0.6454	0.0579	0.6538
96	40	0.9499	0.4115	-0.2181	0.1662	0.5885
97	40	0.9589	0.4072	-0.2181	0.1662	0.5928
290	131	0.9503	0.45	-0.1182	0.1041	0.55
291	131	0.9558	0.4485	-0.1411	0.1041	0.5515
1000	474	0.9501	0.4735	-0.0541	0.0696	0.5265
1001	474	0.9532	0.4730	-0.0541	0.07	0.527

Таким образом, полученный непараметрический медианный доверительный интервал (1) характеризует не только вероятность покрытия медианы, но и долю содержащихся и не содержащихся в нем выборочных значений наблюдаемой с. в. . С другой стороны, по заданному объему выборки можно рассчитать квантилей с заданными порядками, которые характеризуют не только соответствующее долевое разбиение распределения значений с. в. , но и вероятность покрытия медианы любым из образованных интерквантильных отрезков.

Литература:

1.Ивченко, Г. И., Медведев, в математическую статистику: Учебник. М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 600 с.