В 12. мирегэ. ру
Задачи на движение по воде.
1. Из пункта А в пункт В вниз по течению реки отправились одновременно моторная лодка и байдарка. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Последнюю 
часть пути моторная лодка шла с выключенным мотором, и её скорость относительно берега была равна скорости течения. На той части пути, где моторная лодка шла с включённым мотором, её скорость была на 2 км/ч больше скорости байдарки. Найдите скорость байдарки в неподвижной воде, если в пункт В байдарка и моторная лодка прибыли одновременно.
Решение:
Пусть х км/ч - скорость байдарки.
v(км/ч) | t(ч) | S(км) | ||
Моторная лодка | х+5 |
|
| s |
Байдарка | х+3 | | s |
разделим на S.
НОЗ=21(Х+5)(Х+3)
(не удовлетворяет условиям задачи)
Ответ: скорость байдарки 4 км/ч.
2. Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от данной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывает 25 км. Найдите время движения катера вверх по реке. Марина
Решение:
В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч, и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за x км/ч.
Тогда на путь по течению катер со скоростью (15+x) км/ч затратил 
ч, а на путь против течения катер со скоростью (15-x) км/ч затратил 
ч.
Спасательный круг проплывает 25 км по течению реки за 
км/ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплывает 25 км, составим уравнение:
Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 5 и получим
Так как по условию задачи 0<x<15, то есть знаменатели всех дробей в уравнении отличны от нуля, умножим обе части уравнения на (15+x)(15-x)x и получим уравнение, равносильное данному:
(12(15-x)+12(15+x))x=5(15+x)(15-x).
Приведем полученное уравнение к квадратичному:
Уравнение имеет единственный положительный корень x=3, отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.
Итак, скорость течения реки равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке:
Ответ: 5.
3. Лодка прошла 10 км по течению реки, а затем 4 км против течения, затратив на весь путь 1 час 40 минут. Собственная скорость лодки была постоянная во время всего пути и равна 8 км/ч. Определите максимально возможное значение (в км/ч), которое может иметь скорость течения реки.
Решение:
Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда 
Ответ: 2.
1.1. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Марина
Ответ: 9
1.2. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 14
1.3. Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 1
1.4. Лодка в 5:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 23:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 4 км/ч.
Ответ: 1
1.5. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 45 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч. Марина
Ответ: 3
1.6. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.
Ответ: 1
1.7. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 180 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 12
1.8. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 238 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 14
1.9. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 130 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 13
1.10. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 24
1.11. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 3
1.12. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 3
Задачи на движение по суше.
2.1. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Илья
Ответ: 52
2.2. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 36
2.3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 110 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 5,5 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 1
2.4. Два велосипедиста одновременно отправляются в 154 - километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 11
2.5. Два велосипедиста одновременно отправились в 99-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 9
2.6. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 10
2.7. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 7
2.8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 63 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 2 ч. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 7
2.9. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 14
Задачи на производство.
3.1. На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответ: 5
3.2. На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответ: 8
3.3. На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Илья
Ответ: 10
3.4. Первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 713 деталей, на 8 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 837 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?
Ответ: 31
3.5. Первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 575 деталей, на 2 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 600 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?
Ответ: 25
3.6. Первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 391 деталей, на 6 часов раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 460 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?
Ответ: 23
3.7. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут раньше, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров? Илья
Ответ: 25
3.8. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 420 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 399 литров?
Ответ: 20
3.9. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 425 литров она заполняет на 8 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 525 литров?
Ответ: 2
3.10. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
Ответ: 10
3.11. Заказ на 182 детали первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
Ответ: 13
3.12. Заказ на 195 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?
Ответ: 13
Задачи на сплавы и смеси
В первом сплаве меди в четыре раза больше, чем цинка, а во втором сплаве – в 4 раза меньше. Из этих двух сплавов требуется получить 20 кг третьего сплава, в котором медь составляет 35%. Сколько килограммов первого сплава требуется для этого взять.
Решение:
1 сплав: 
Всего 5x
2 сплав: 
Всего 5у
Получен третий сплав, в котором всего 20 кг
Уравнение:
5х+5у=20
Медь - 35% - ? кг
Всего - 100% - 20кг
Медь = 
= 7кг
4x+y=7б
x+7– 4x=4
x=1
1спл. = 5х = 5 (кг)
Ответ: 5
К 200 граммам сиропа, содержащего 25% сахара, добавили 75 граммов воды и некоторое количество сахара. После перемешивания получили сироп, содержащий 28% сахара. Определите, сколько граммов сахара было добавлено.Ответ: 37,5
4.2. В бидон налили 3 литра молока 6% жирности, некоторое количество молока 2% жирности и тщательно перемешали. Определите, сколько литров молока 2% жирности было налито в бидон, если известно, что жирность молока, полученного после перемешивания, составила 3,2%.
Ответ: 7
4.3. Два слитка массой 7кг и 3кг, состоящих из серебра и примесей других металлов, переплавили в один слиток. Определите процентное содержание серебра в полученном слитке, если известно, что меньший по весу слиток содержал 90% серебра, а больший – 85%.
Ответ: 86,5
4.4. Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер положили 200г мороженого жирностью 10% и добавили 300г молока 6% - ой жирности. Определите жирность полученного коктейля (в процентах).
Ответ: 7,6
Задачи на совместную работу.
1. Одна труба подаёт в бассейн 1
воды на 4 мин быстрее, чем другая. Сколько кубических метров воды подаст вторая труба за 5 ч, если она подаёт за это время на 100
воды меньше, чем первая?
Решение:
Пусть первая труба подаёт в бассейн 1
воды за Х мин, то есть за 
тогда вторая труба подаёт в бассейн 1
воды за (х+4)мин, то есть за 
Это означает, что за 1 ч первая труба подаёт в бассейн 
воды, а вторая труба подаёт в бассейн 
воды.
По условию задачи 
больше, чем 
на 
.
Составим и решим уравнение
Разделим обе части уравнения на 20 и решим его:
Так как по условию задачи значение х должно быть положительным, то х=2. тогда вторая труба подаёт в бассейн 1
воды за 6 мин, за 1 час она подаёт в бассейн 10
воды, а за 5 ч
воды.
Ответ: 50
2. Бак заполняют керосином за 2 часа 30 минут с помощью трёх насосов, работающих вместе. Производительности насосов относится как 3:5:8. сколько процентов объёма будет заполнено за 1 час 18 минут совместной работы второго и третьего насосов?
Решение:
Так как объём бака не указан, то примем его за 1. Пусть коэффициент пропорциональности равен Х, тогда производительности насосов равно 3Х,5Х,8Х. И время наполнения бака при совместной работе всех трёх насосов равно 
или, по условию задачи, 2 часа 30 минут.
Решим уравнение 
.
Производительность второго насоса равна 
.
Производительность третьего насоса равна 
.
Совместная производительность второго и третьего насосов равна 
.
За 1 час 18 минут второй и третий насосы наполнят 
объёма бака.
Итак, при совместной работе второго и третьего насосов за 1 час 18 минут будет
заполнено 
объёма бака.
Возможна запись:
;
Производительность II насоса равно 
Производительность III насоса равно 
Совместная производительность II и III насосов равно 
За 1 час 18 минут II и III насосы наполнят 
объёма бака.
Ответ: 42,25.
Задачи на проценты.
Цена некоторого товара была сначала повышена на 10%, затем ещё на 120 рублей и, наконец, ещё на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило 31,25%.
Решение:
Пусть 
рублей – первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной 
рублей, затем стала равной 
рублей и, наконец, после последнего повышения стала равной 
рублей.
Составим уравнение: 
Получим: 
Таким образом, первоначальная цена товара составляла 800 рублей.
Ответ: 800.
мирегэ. ру
