Практическое занятие 7

Тема «Построение асимптотических логарифмических амплитудно-частотных характеристик сложных систем »

В теории автоматического управления очень часто возникает необходимость построения логарифмической характеристики группы последовательно соединенных звеньев, например, при синтезе САУ методом ЛАХ, когда требуется иметь логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы. Последовательное соединение звеньев возникает либо естественным образом, как отражение структуры системы управления, либо в результате представления ее передаточной функции в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев. В том и другом случае передаточная функция системы может быть представлена в виде

,                                                        (7-1)

где k – передаточный коэффициент; х – порядок астатизма; ‑ полиномы вида и ; ‑ полиномы вида и .

Известно, что передаточная функция разомкнутой системы из n последовательно соединенных звеньев равна произведения передаточных функций каждого из звеньев

                               (7-2)

Аналогично может быть представлена и амплитудная фазо-частотная характеристика (после формальной подстановки s=jщ)

                               (7-3)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если учесть, что АФЧХ элементарного звена представляет собой вектор с модулем равным и направлением , то АФЧХ произведения звеньев представляет собой произведение векторов, с модулем, равным произведению модулей отдельных звеньев, и аргументом, равным алгебраической сумме аргументов отдельных звеньев, т. е.

,                                                (7-4а)

.                                                (7-4б)

При построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики операция логарифмирования произведения превращается в операцию суммирования логарифмов

                       (7-5)

Таким образом, общая методика построения результирующей логарифмической частотной характеристики системы (как амплитудной, так и фазовой) состоит в определении логарифмической характеристики каждого из входящих в систему звеньев с последующим суммированием ординат на соответствующих частотах (см. формулы (7-4б) и (7-5)).

В качестве примера построим асимптотическую ЛАФЧХ системы, которая описывается передаточной функцией, представленной в виде (7-1)

.                                        (7.5)

На рис. П7.1 (верхний график) показаны асимптотические ЛАФЧХ каждого звена, входящего в систему, а на нижнем ‑ асимптотическая ЛАФЧХ системы, полученная суммированием ординат.

Анализ результатов построения показывает, что асимптотическая ЛАЧХ системы состоит из отрезков прямых линий, сопрягающихся между собой в точках, соответствующих частотам сопряжения, входящих в систему элементарных звеньев. Такая особенность асимптотических характеристик систем позволяет отказаться от построения ЛАЧХ отдельных звеньев с последующим их сложением, а строить асимптотическую ЛАЧХ системы в целом, придерживаясь несложной методики:

Если передаточная функция системы представлена в виде отношения полиномов (в виде дробно-рациональной функции), необходимо найти ее нули и полюса (корни полиномов числителя и знаменателя) и записать ее в виде произведения (или частного) элементарных сомножителей не выше второго порядка в виде (7-1). Определить сопрягающие частоты для всех элементарных звеньев ( и ), ранжировать (расположить) их в порядке возрастания частоты, независимо от того, в числителе находится это звено или в знаменателе, и отложить их на оси частот графика. На частоте щ=1 отложить ординату, равную , где ‑ коэффициент усиления системы (точка А на рис. П7.2). Через точку А провести низкочастотную асимптоту – прямую с наклоном х 20 дБ/дек, где х – порядок астатизма системы, до первой частоты сопряжения (точка Б). Если окажется, что , то через точку А пройдет продолжение низкочастотной асимптоты. После каждой частоты сопряжения (в порядке их увеличения) необходимо изменять наклон ЛАЧХ по такому правилу:
    если частота сопряжения определяется постоянной времени сомножителя знаменателя в виде , то наклон следующей асимптоты ЛАЧХ (начинающейся с часты ) увеличивается на 20л дБ/дек; если частота сопряжения определяется постоянной времени сомножителя знаменателя в виде , то наклон ЛАЧХ увеличивается на 40л дБ/дек; если частота сопряжения определяется постоянной времени сомножителя числителя в виде , то наклон ЛАЧХ уменьшается на 20л дБ/дек; если частота сопряжения определяется постоянной времени сомножителя числителя в виде , то наклон ЛАЧХ уменьшается на 40л дБ/дек;

Построение логарифмической фазо-частотной характеристики выполняется либо на основании выражения, полученного для всей для всей системы, либо как сумма выражений для ЛФЧХ, входящих в систему звеньев.

При построении низкочастотной асимптоты системы с астатизмом первого порядка можно воспользоваться ее свойством, состоящим в том, что она (асимптота!) или ее продолжение пересекают ось частот при . Аналогичное правило имеется для второй асимптоты систем с астатизмом второго порядка ‑ и т. д.

Задача. Построить асимптотическую логарифмическую амплитудную и фазо-частотную характеристики системы с передаточной функцией

                               (П7-1)

Решение

Представим передаточную функцию системы в виде (7-1). Используя математический пакет MathCad, находим корни полинома числителя (нули системы), предварительно выведя за скобки общий множитель – свободный член полинома, равный

и знаменателя (полюса системы)

Анализ полученного решения показывает:

полином числителя имеет два отрицательных вещественных корня, каждый из которых соответствует сомножителю в виде полинома первого порядка вида , где ‑ значения корней. Таким образом, числитель можно представить в виде и после преобразования с целью получения свободных членов, равных единице, окончательно получаем . полином знаменателя имеет:
    один нулевой корень, что соответствует сомножителю вида , где н=1; два отрицательных вещественных корни, каждый из которых соответствует сомножителю в виде полинома первого порядка вида , где ‑ значения корней, с учетом которых можно записать ; два комплексно сопряженных корни вида , соответствующие сомножителю вида , коэффициенты которого связаны с вещественной и мнимой частями корней выражениями . Таким образом, получаем полином , который сначала приводим к нормированному виду , откуда окончательно получаем уравнение колебательного звена .

В итоге, полином знаменателя запишем в виде .

Окончательно передаточная функция будет иметь вид

.                        (П7-2)

Из (П7-2) находим и запишем постоянные времени элементарных звеньев: , а по ним определяем частоты сопряжения и располагаем их в порядке возрастания

.                (П7-3)

На частоте щ=1 откладываем ординату, равную (точка А). Так как порядок астатизма 1 (одно интегрирующее звено), то через точку А проводим низкочастотную асимптоту – прямую с наклоном минус 20 дБ/дек до частоты сопряжения . Применяя правила построения асимптот, строим ЛАХ в следующем порядке:

а) от сопрягающей частоты до частоты строим асимптоту с наклоном, увеличенным по сравнению с предыдущим на 20дБ/дек, т. е. с наклоном минус (20+20)=-40дБ/дек, так как сопрягающая частота связана с сомножителем вида , где л=1, в знаменателе передаточной функции;

б) от сопрягающей частоты до частоты строим асимптоту с наклоном, уменьшенным по сравнению с предыдущим на 20дБ/дек, т. е. с наклоном минус 40-20=-20дБ/дек, так как сопрягающая частота связана с сомножителем вида , где л=1, в числителе передаточной функции;

в) от сопрягающей частоты до частоты строим асимптоту с наклоном минус 40 дБ/дек (смотри пункт 5а здесь же);

г) от сопрягающей частоты до частоты строим асимптоту с наклоном минус 20 дБ/дек (смотри пункт 5б здесь же);

д) от сопрягающей частоты и далее до конца строим асимптоту с наклоном, увеличенным по сравнению с предыдущим на 40дБ/дек, т. е. с наклоном минус (20+40)=-60дБ/дек, так как сопрягающая частота связана с сомножителем вида , где л=1, в знаменателе передаточной функции.

Построенная асимптотическая ЛАЧХ приводится на рис. П7.2.