С-5. Неравенства с параметрами.
C 5 . Найдите все значения 
при каждом из которых множеством решений неравенства 
является отрезок.
Решение.
Перепишем неравенство в виде
Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.
Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при 
Заметим, что при 
решением кроме отрезка будет еще и точка 
что противоречит условию.
Рассмотрим случай касания:
тогда
Итак, интервал 
не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения 
при каждом из которых наименьшее значение функции 
больше, чем 
Решение.
1. Функция имеет вид:
a) При 
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии 
б) При 
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.
2. Если 
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то еще и в точке 
3. Наименьшее значение функции 
больше -24 тогда и только тогда, когда либо
либо
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
или 
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения 
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше, чем 
Решение.
1. Функция имеет вид:
a) при 
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии 
б) при 
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.
2. Если 
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать
только в точках 
и 
Если 
— то еще и в точке 
3. Наименьшее значение функции 
больше 
тогда и только тогда, когда либо
либо
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
или 
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции 
на множестве 
не менее 6.
Решение.
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты 
. Значит, минимум функции 
на всей числовой оси достигается при 
.
На множестве 
эта функция достигает наименьшего значения либо в точке 
, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек 
.
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,
откуда получаем систему неравенств
решениями которой являются 
.
При 
имеем: 
, значит наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
, что удовлетворяет условию задачи.
При 
имеем: 
, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек 
, в которых значение функции не меньше 6.
При 
имеем: 
, значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
, что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
.
C 5. Найдите все значения 
при каждом из которых наименьшее значение функции 
на множестве 
не менее 6.
Решение.
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены
вверх, а вершина имеет координаты 
Значит, минимум функции 
на всей число
вой оси достигается в вершине при 
На множестве 
эта функция достигает наименьшего значения либо в точке 
если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек 
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,
откуда получаем систему неравенств
решениями которой являются 
При 
имеем: 
, значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
, что не удовлетворяет условию задачи.
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек 
в которых значение функции не меньше 6.
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
, что удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения 
, при каждом из которых неравенство
выполняется при всех 
Решение.
Поскольку 
для всех значений 
получаем:
Решим полученное неравенство:
Для того, чтобы любое значение 
удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения 
, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения 
, при каждом из которых неравенство
выполняется при всех 
Решение.
Поскольку 
для всех значений 
получаем:
Решим полученное неравенство:
Для того, чтобы любое значение 
удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения 
, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения 
, при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве 
не меньше 6.
Решение.
Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты 
Значит, минимум функции 
на всей числовой оси достигается при 
На множестве 
эта функция достигает наименьшего значения либо в точке 
если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек 
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,
откуда получаем систему неравенств
.
решениями которой являются 
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
что не удовлетворяет условию задачи.
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек 
в которых значение функции не меньше 6.
При 
имеем: 
значит, наименьшее значение функции достигается в точке 
и 
что удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых наименьшее значение функции 
больше 
Решение.
1. Функция 
имеет вид:
а) при 
а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
б) при 
а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции 
показаны на рисунках:
2. Наименьшее значение функции 
может принять только в точках 
или 
а если 
то в точке 
3. Наименьшее значение функции 
больше 1 тогда и только тогда, когда
Ответ: 
C 5 . Найдите все значения параметра 
при каждом из которых на интервале 
существует
хотя бы одно число 
, не удовлетворяющее неравенству 
Решение.
Преобразуем неравенство:
Неравенство 
определяет на плоскости 
полосу, заключенную между прямыми 
и 
Неравенство 
задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.
На рисунке видно, что на интервале 
есть 
, не удовлетворяющие неравенству, только если 
Ответ: 
5 . Найдите все значения параметра 
при каждом из которых на отрезке 
существует хотя бы одно число 
, удовлетворяющее неравенству 
Решение.
Преобразуем неравенство:
Неравенство 
определяет на плоскости 
полосу, заключенную между прямы
ми 
и 
Неравенство 
задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.
На рисунке видно, что на интервале 
есть 
, удовлетворяющие неравенству, только если 
Ответ: 
