Накат длинных волн на берег в бухте параболического сечения

УДК: 551.46

1 , 1,2 , 1,3-5

НАКАТ ДЛИННЫХ ВОЛН НА БЕРЕГ В БУХТЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ

1 Нижегородский государственный технический университет им.

2 Институт морских систем, Таллиннский технологический университет, Таллинн

3 Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород

4 Высшая школа экономики, Москва

5 Специальное конструкторское бюро средств автоматизации морских исследований, Южно-Сахалинск

Рассмотрен накат колоколообразных импульсов различной формы на берег бухты параболического сечения с постоянным уклоном дна. Исследование проведено аналитически в рамках нелинейной теории мелкой воды. Подробно рассмотрены три типа импульсов: солитоноподобной, синусоидальной (в течении полупериода), а также лоренцевой формы. Показано, что характеристики наката волн на берег (максимальная высота наката, максимальная скорость наката и отката волн, а также параметр обрушения волн) для различных импульсов положительной полярности с приемлемой точностью совпадают. Получены параметризованные формулы для максимальных характеристик наката.

Ключевые слова: накат длинных волн на берег, бухта параболического сечения, параметризация характеристик наката

Определение характеристик наката морских волн на берег представляет собой важную практическую задачу. Эти характеристики в конечном итоге определяют зоны затопления и воздействие на береговые сооружения под воздействием длинных волн, таких как цунами, штормовые нагоны, волны-убийцы.

Оценки характеристик наката, сделанные для плоского откоса, не всегда являются оптимальными. Так, во время цунами 2009 г. на Самоа и Японского цунами 2011 г. цунами распространялось в бухтах U-образной формы, и наблюдаемая высота наката волн в этих бухтах существенно превысила оценки, сделанные по формулам для плоского откоса [1]. В то же время в работе [2] показано, что оценки, сделанные с учетом поперечного сечения бухты Паго-Паго, находятся в хорошем совпадении с наблюдениями цунами 2009 г. на Самоа. Канальная теория распространения волн использовалась также в статьях [3,4] для расчетов прохождения цунами через пролив Босфор, разделяющий Черное и Мраморное моря.

Отсюда следует необходимость отдельного рассмотрения динамики цунами в таких бухтах. Объединение этих эффектов (геометрической фокусировки внутри бухты и усиление вблизи берега) может привести к образованию аномально высокого заплеска волны на берег.

Рассмотрим линейно-наклоненную бухту (канал) параболического сечения (рис. 1).Такой формой можно аппроксимировать многие реальные бухты и фьорды.

Рис. 1. Поперечное сечение и продольная проекция бухты параболического сечения

Геометрия задачи, показанная на рис. 1, описывается следующей формулой:

,  (1)

где h(x) – это невозмущенная глубина вдоль центральной оси канала, б – угол склона вдоль основной оси канала. Ось х направлена к берегу, а y0  - эффективная ширина канала.

Уравнения нелинейной теории мелкой воды, усредненные по поперечному сечению бухты параболического сечения, имеют вид [5]:

,          (2)

где мы используем те же обозначения, что и раньше: H(x, t) = η(x, t) + h(x) – полная глубина бассейна вдоль центральной оси канала, η(x, t) – смещение водной поверхности, u(x, t) – усредненная по поперечному сечению скорость водного потока.

Уравнения (2) отличаются от классических одномерных уравнений мелкой воды [6,7] только наличием дополнительного коэффициента 2/3 в первом уравнении, обусловленным параболической формой поперечного сечения канала.

Метод решения гиперболических уравнений типа (2) ранее подробно описан [8]. Используя римановы инварианты система (2) приводится к линейному волновому уравнению (3), где все искомые переменные могут быть выражены через волновую функцию :

,  (3)

Уравнение (3) должно решаться на полуоси , так как и всегда положительна.

Главное отличие от случая плоского откоса, описанного ранее, состоит в том, что при распространении волн вдоль наклоненного канала параболического сечения они не испытывают распределенного отражения от донного профиля, т. е. все отражение происходит только непосредственно от берега (уреза). Математически это и отражается как раз в локальности всех решений без наличия интегральных (запаздывающих) слагаемых. Это свойство типично для всех безотражательных геометрий, подробно рассмотренных в работах [8-10] и приводит к значительному усилению волн на берегу. Усиление волн цунами в бухтах хорошо известно из наблюдений и объясняется в рамках теории мелкой воды.

Вертикальное смещение подвижного уреза в бухте параболического сечения в линейной постановке (для волны малой амплитуды) описывается простой формулой, зависящей от производной по времени от падающей на откос волны ηin [5]:

,  (4)

где L – расстояние, которое проходит волна до берега, h0 – глубина бассейна на расстоянии L до берега и τ - время добегания волны до берега.

Горизонтальная скорость воды на урезе U(t) опять же для волн очень малой амплитуды может быть найдена по формуле

,  где  .  (5)

Отметим, что хотя формулы (4)-(5) описывают динамику подвижного уреза в линейной задаче, они являются базовыми для расчета характеристик наката в нелинейной задаче. Важно подчеркнуть, что максимумы высот и скоростей наката волн в линейном и нелинейном приближении совпадают. Поскольку нас интересуют исключительно максимальные значения характеристик наката, то нам будет достаточно найти максимумы «линейных» функций (4)-(5).

Одним из важнейших параметров, характеризующих накат длинных волн на берег, является параметр обрушения Br, который < 1 для необрушенных волн и ≥ 1 для обрушенных. Он выражается через производную по времени от скорости волны на урезе в линейном приближении:

.                  (6)

В качестве падающих на берег волн было рассмотрено несколько семейств колоколообразных импульсов различной формы: солитоноподобной

,  n = 1, 2, ... 20,  (7)

синусоидальной (в течение полупериода)

,  n = 3, 4, … 20,  (8)

а также лоренцевой формы

,  n = 1, 2, … 20.  (9)

Для анализа возможности параметризация характеристик наката этих импульсов были введены численные коэффициенты мR, мU± и мBr, зависящие от формы волны, и формулы (4)-(6) для экстремальных характеристик наката волн были соответственно преобразованы в

,  ,          (10)

,    ,          (11)

,  ,          (12)

где Teff – это эффективная длительность импульса, определяемая по уровню 2/3 от максимальной высоты падающего импульса, Rmax - максимальная высота наката, Umax и Umin – максимальные скорости наката и отката соответственно. Поскольку мы предполагаем, что падающая волна является симметричной, то сразу отметим, что максимальная глубина отката в рассматриваемой U-образной бухте совпадает по модулю с Rmax, однако это не относится к скорости наката и отката.

Таким образом, все влияние формы подходящих к берегу волн оказалось сосредоточено в параметрах мR, мU± и мBr. Результаты расчета этих параметров для соответствующих семейств колоколообразных импульсов (7)-(9) приведены на последующих рис. 2-4.

Рис. 2. Параметр формы для максимальной высоты наката: кружками показаны значения для импульсов синусоидальной формы, серыми треугольниками - для импульсов лоренцеобразной формы, квадратами - для импульсов солитоноподобной формы

Рис. 3. Параметр формы для максимальных скоростей наката и отката: кружками показаны значения для импульсов синусоидальной формы, серыми треугольниками - для импульсов лоренцеобразной формы, квадратами - для импульсов солитоноподобной формы

Из рис. 2 видно, что параметр мR для максимальной высоты наката волн на берег с увеличением n стремится к общему для всех типов импульсов значению ≈1.1, и максимальный разброс не превышает 15%. При этом максимальные отличия наблюдаются при малых n, когда различие в форме максимально. Это хорошо проиллюстрировано на рис. 5, где показано, как различаются по форме импульсы при n = 3 и 20.

Параметры мU± для максимальных скоростей наката и отката волн тоже стремятся к одним и тем же значениям для всех типов импульсов, которые равны ≈1.4 и ≈3.2 соответственно, рис. 3. При этом скорость отката более чем в 2 раза превышает скорость наката, являясь более устойчивой характеристикой. Так, разброс значений параметра мU– для скорости отката не превышает 12%, в то время как соответствующий разброс для скорости наката – 56%, что говорит о том, что даже небольшие отличия в форме подходящей к берегу волны могут сильно повлиять на величину скорости наката воды на берег.

И, наконец, мBr для параметра обрушения, как и ожидалось, также выходит на постоянное значение ≈8.1 с максимальным разбросом 24%, рис. 4. Как известно, первое обрушение волн на берегу всегда происходит на стадии отката волн [7], поэтому логично, что параметр обрушения ведет себя схоже с параметром мU– для максимальной скорости отката волн.

Рис. 4. Параметр формы для параметра обрушения Br: кружками показаны значения для импульсов синусоидальной формы, серыми треугольниками - для импульсов лоренцеобразной формы, квадратами - для импульсов солитоноподобной формы

Рис. 5. Форма подходящих к берегу импульсов для значения n = 3 (слева) и n = 20 (справа): сплошной линией показаны импульсы синусоидальной формы, серой штриховой - импульсы лоренцеобразной формы и штрих-пунктирной - импульсы солитоноподобной формы

Таким образом, определение длительности волны по уровню 2/3 от амплитуды волны является оптимальным, и в этом случае универсальные формулы для характеристик наката длинных волн в U-образных бухтах могут быть записаны в форме (10)-(12) со следующими значениями численных коэффициентов:

, , , .

Выводы

Проанализирован накат колоколообразных импульсов различной формы на берег бухты параболического сечения с постоянным уклоном дна. Показано, что максимальные характеристики наката волн на берег для различных импульсов положительной полярности с приемлемой точностью совпадают. Получены формулы для экспресс-оценок характеристик наката в бухтах параболического сечения.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации НШ-6637.2016.5, а также гранта Президента РФ МД-6373.2016.5, гранта PUT1378 и грантов РФФИ (16-55-52019 и 17-05-00067).

Библиографический список

Okal, E. A. Field survey of the Samoa tsunami of 29 September 2009 / E. A. Okal, H. M. Fritz, C. E. Synolakis, J. C. Borrero, R. Weiss, P. J. Lynett, V. V. Titov, S. Foteinis, B. E. Jaffe, P. L.-F. Liu, I.-Ch. Chan // Seismolog. Res. Lett. - 2010. - 81(4). - P. 577–591. Didenkulova, I. Tsunami runup in narrow bays: the case of Samoa 2009 tsunami / I. Didenkulova // Nat. Hazards. - 2013. - 65(3). - P. 1629–1636. Базыкина, эффекты при распространении длинных поверхностных волн в каналах переменного поперечного сечения / , // Морской гидрофизический журнал. - 2015. - № 4. - C. 3-13. Базыкина, каналовой модели для описания распространения одиночных волн типа цунами в канале переменного поперечного сечения / , // Морской гидрофизический журнал. - 2015. - № 1. - C. 29-41. Didenkulova, I. Nonlinear wave evolution and runup in an inclined channel of a parabolic cross-section / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Phys. Fluids. - 2011. - 23(8). - P. 086602. Диденкулова, нелинейно деформированных волн на берег / , H. Заибо, A. A. Куркин, , T. Соомере // Доклады Академии Наук. - 2006. - 410(5).- P. 676–678. Пелиновский, волн цунами / - Нижний Новгород: ИПФ РАН. - 1996. - 176с. Didenkulova, I. Runup of tsunami waves in U-shaped bays / I. Didenkulova, E. Pelinovsky // Pure Appl. Geophys. - 2011. - 168(6–7). - P. 1239–1249. Диденкулова, длинных волн от «безотражательного» донного профиля / , Н. Заибо, // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2008. - № 4. - C. 102–108. Didenkulova, I. Long surface wave dynamics along a convex bottom / I. Didenkulova, E. Pelinovsky, T. Soomere // J. Geophys. Res. Oceans. - 2009. - V. 114. - P. C07006.

O. I. Didenkulov1 , I. I. Didenkulova1,2 ,  E. N. Pelinovsky1,3-5

RUNUP OF LONG SEA WAVES ON A BEACH IN A BAY OF PARABOLIC

CROS-SECTION

1 Nizhny Novgorod State Technical University n. a. R. E. Alekseev

2 Marine Systems Institute at Tallinn University of Technology

3 Institute of Applied Physics Russian Academy of Sciences

4 Higher School of Economics, Moscow

5 Special Research Bureau for Automation of Marine Researches

Runup of bell-shaped impulses on a beach in a bay of parabolic cross-section with a linearly inclined bottom is considered. The study is conducted analytically in the framework of nonlinear shallow water theory. Three types of incident impulses: solitary-form, sinusoidal-form(half of period) and Lorentz-form, are studied in detail. Shown, that runup characteristics on a beach (maximum runup height, maximum velocity of runup and rundown and breaking parameter), for the different impulses of positive polarity with reasonable accuracy is the same. Parameterized formulas for maximum runup characteristics is obtained.

Keywords: long wave runup on a beach, bay of parabolic cross-section, parameterization of runup characteristics