Задания для 9-го класса

ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9-го КЛАССА

(2017-2018 учебный год)

Задание 1

1) Трое мальчиков встретились в библиотеке. Один из них сказал: «Теперь я буду ходить в библиотеку через день». Второй заявил, что будет ходить в библиотеку через два дня, а третий пообещал ходить в библиотеку через три дня. Библиотекарь, слышавший разговор, заметил, что по средам в библиотеке выходной день. Мальчики ответили, что если у кого-то из них дата прихода попадёт на среду, то он придёт на следующий день и дальнейший отсчет посещений будет вести уже с этого дня. Однажды в понедельник мальчики снова встретились в библиотеке. В какой день недели происходил разговор? 

2) У каждого из чисел от 1 до 1000000000 подсчитали сумму цифр, у этих сумм опять нашли сумму цифр и так далее, пока не получили миллиард однозначных чисел. Каких чисел при этом больше – 3 или 5?

3) Постройте график функции

.

4) При каком натуральном значение выражения

ближе всего к 73?

5) Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину  может иметь большая диагональ этой трапеции?

Задание 2

1) Первые пять мест в некотором конкурсе заняли  A, B, C, D и E. Пытаясь угадать результаты, некто предположил, что получится последовательность A, B, C, D, E. Но оказалось, что он не угадал ни места кого-либо из призёров, ни какой-либо пары следующих непосредственно друг за другом участников. Некто другой, предполагая результат D, A, E, C, B, указал правильно места двух участников, а также две пары непосредственно следующих друг за другом участников. Каков на самом деле результат конкурса?

2) Запись числа a состоит из 2n цифр х, числа b – из n цифр y, числа c – из  n цифр z. Определить цифры x, y, z, если известно, что равенство справедливо, по крайней мере, для двух значений n.

3) В сосуд, содержащий 1 л воды, из двух кранов одновременно начинают наливать растворы кислоты: из первого – 10%-ный со скоростью 1 л в час, из второго – 20%-ный со скоростью v  литров в час. Для получения пятипроцентной концентрации кислоты в сосуде потребовалось более пяти минут. Если бы из первого крана подавался 20%-ный раствор, а из первого – 10%-ный, то концентрация кислоты в сосуде достигла бы  значения  5% на мин позже. Найти v.

4) Найти область определения и множество значений функции .

5) Доказать, что если сумма расстояний между серединами выпуклого четырехугольника равна его полупериметру, то четырехугольник является параллелограммом.

Задание 3

1) Петя и Вася играют в следующую игру. На доске написано уравнение

.

Петя ставит на любое из пустых мест целое число, отличное от нуля. Затем Вася ставит целое число на одно из оставшихся мест. Наконец, Петя ставит целое число на последнее свободное место и побеждает, если все три корня получившегося уравнения – целые числа. Придумайте для Пети выигрышную стратегию.

2) Сколькими различными способами можно представить целое положительное число n в виде суммы трёх положительных целых слагаемых? Два представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

3) Товарный поезд, шедший из А в В, прибыл на станцию С одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со скоростью в m раз большей, чем товарный. Оба поезда, простояв на станции С по t часов, продолжили свой путь, причём каждый из них увеличил скорость на 25% по сравнению с первоначальной. Товарный поезд прибыл в В на часов позже, а пассажирский прибыл в А на часов позже, чем если бы они двигались без остановки с первоначальными скоростями. Насколько раньше товарный поезд вышел из А, чем пассажирский из В?

4) При всех значениях параметра р решить уравнение

.

5) Две окружности касаются в точке А, ВС – общая касательная, пересекающая линии центров в точке D. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная к ВС. Прямые ВА и АС пересекают эту прямую в точках P и Q. В каком отношении точка D делит отрезок PQ?

Задание 4

1) Серия n параллельных прямых плоскости пересекается с множеством m параллельных

прямых. Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?

2) Студент может доехать от дома до университета либо на автобусе №1 без пересадок, путь при этом займёт 1 ч 15 мин, либо последовательно пересаживаясь на автобусы №2, №3 и так далее. При этом каждая пересадка занимает 4 мин, а время движения (без учёта пересадок) обратно пропорционально количеству использованных автобусов. Может ли студент добраться до университета быстрее, чем за полчаса? 

3) Положительные числа x и y удовлетворяют уравнению . Докажите, что .

4) При каком наименьшем положительном значении а система уравнений

имеет ровно четыре различных решения?

5) Найти точку N внутри прямоугольного треугольника ABC такую, что углы NBC, NAC и NAB равны.

Задание 5

1) В разложении найдите сумму членов, содержащих .

2) По окружности в противоположных направлениях движутся два тела: первое равномерно с линейной скоростью v, а второе равноускоренно с линейным ускорением а. В начальный момент времени оба тела находились в одной точке А и скорость второго была равна нулю. Через какое время произойдёт первая встреча этих тел, если вторая встреча будет снова в  точке А?

3) Завод должен переслать заказчику 1100 деталей. Детали для пересылки упаковываются в ящики трех типов. Ящик первого типа вмещает 70 деталей, ящик второго типа вмещает 40 деталей, ящик третьего типа – 25 деталей. Стоимость пересылки одного ящика составляет, соответственно, 20, 10 и 7 денежных единиц. Какие ящики должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей?

4) Найдите все значения, которые может принимать сумма , если

.

5) Найти радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABM, BCM, CDM, ADM, где  М – точка пересечения диагоналей четырехугольника, равны, соответственно, 3,5, 2, 3,5 и 4.

.