Методические рекомендации к изучению полярной системы координат в школе

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ИЗУЧЕНИЮ

ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В ШКОЛЕ

Изображение графиков функций на плоскости является необходимым элементом при оценке и анализе многих процессов. Отсюда следует одна из сложных задач обучения математике в школе - формирование и закрепление навыков исследования функций и построения их графиков. В школьном курсе учащиеся имеют дело с построением графиков некоторых элементарных функций, заданных в прямоугольной декартовой системе координат (далее ДСК) разными методами: по точкам, при помощи преобразований или с использованием начал анализа.

Кроме привычной для нас прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости.

Чаще всего применяются полярные координаты. Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы и биологические объекты. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения "полярных" объектов. Живой организм "начинается" из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере, такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию "математических", "полярных" форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, примитивных многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе.

Развитие компьютерных технологий и их массовое проникновение в школу предопределяет важность наглядного представления, ибо графики функциональных зависимостей можно строить с любой заранее заданной точностью. С другой стороны, любой процесс формирования понятия включает этапы введения, усвоения, закрепления, а затем, если необходимо, и расширения, причём последний допускает введение понятий того же рода, но с иными видовыми отличиями. При изучении систем координат таким понятием будет полярная система координат (далее ПСК). В ряде случаев она имеет преимущества перед декартовой, как-то: наглядность, возможность представления трансцендентных кривых рациональными уравнениями и т. д.

  Для достижения намеченной цели разработана программа факультатива для 9 класса средней школы “Построение графиков функций в полярной системе координат”. Курс состоит из двух частей: первая посвящена формированию нового понятия - полярной системы координат, а вторая - использованию вычислительной техники: программы Microsoft  Excel и среды Advanced Grapher  для исследования заданных в ней графиков функций.

К понятию полярных координат можно прийти по-разному. В основе разработанного курса лежит традиционный способ, предполагающий поточечное построение и сравнение с графиком той же функции в прямоугольной декартовой системе координат.

Для пропедевтики понятия полярной системы координат можно рассмотреть задачу о розе ветров или движения по азимуту, или игру  «Воздушная атака», которые знакомят учащихся с новым принципом изображения графической зависимости.

Например, можно воспользоваться готовым  интерактивным материалом по знакомству с полярной системой координат ««Открытая Математика 2.5 . Функции и Графики» (Модель «Воздушная атака»).

Данная программа развивает познавательные способности, активность и самостоятельность учащихся, повышает интерес к овладению научными знаниями и методами научно-познавательной деятельности.

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата – расстояние от точки до полюса, координата – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число в полярной системе определено не однозначно: парам чисел соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса, а угол не определен. Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, – в полярной. Тогда очевидно, что .

Формулы обратного перехода:

Роза ветров представляет собой диаграмму, характеризующую режим ветра в данном месте по результатам наблюдений: длины лучей, расходящихся от центра диаграммы в разных направлениях, пропорциональны повторяемости ветров этих направлений. По диаграмме видно, что каждому направлению соответствует вектор определенной длины. Эта задача рассматривается ещё в курсе физической географии в 5-6 классах, где понятие полярных координат используется на интуитивном уровне.

Если переменные  и связаны функциональной зависимостью, то, изображая значение полярными углами и откладывая на определяемых ими лучах отрезки, равные соответствующим значениям , получим геометрическое место точек с координатами  и , образующих линию, называемую полярной диаграммой или графиком в ПСК.

Для построения графиков функции в ПСК рекомендуется ответить на ряд вопросов, представленных в таблице.

№	Методическая схема	Подсказка ()
1	В каких точках кривая пересекает полярную ось?	Необходимо вычислить значения функции для
2	В каких точках кривая пересекает перпендикуляр к полярной оси, проведенный из полюса?	Необходимо вычислить значения функции для
3	При каких значениях аргумента кривая проходит через полюс?	Полагаем
4	Будет ли кривая симметрична относительно	полярной оси?	Проверяем
перпендикуляра к полярной оси, проходящего через полюс?	Проверяем
полюса?	Проверяем

Изучение формул перехода от одной системы к другой также позволяет показать преимущества полярной системы координат. Целый класс задач, связанный с нахождением координат точки в одной из систем по её координатам в другой, легко может быть решен как с применением формул перехода (указаны выше).

В следующей таблице приведены аналитические выражения для одних и тех же линий, но заданных в различных системах координат. Видно, что уравнения, содержащие двучлен в различных степенях, в ПСК имеют более простой вид.

Система координат	Используемые формулы
прямоугольная декартова	прямоугольная декартова

С помощью полярных координат можно задавать на плоскости различные множества точек. Очень простым, например, будет уравнение окружности с центром в полюсе. Если радиус окружности равен R, то и полярный радиус любой точки окружности имеет вид =R.

Очень интересен для изучения класс спиралей. В математике спираль — это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой.

Двухмерная спираль может быть описана в полярных координатах, определив радиус r как непрерывную  монотонную функцию от угла . Рассматриваются Архимедова спираль:  ,  спираль Ферма: ;  гиперболическая спираль: ; логарифмическая спираль: (спираль Фибоначчи и золотая спираль — частные случаи логарифмической спирали).

Спирали в нашей жизни встречаются на каждом углу от простых вентиляторов и тисков, до паутины и винтов моторных лодок.

По спирали Архимеда идет звуковая дорожка на грампластинке. Туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

Раковины многих моллюсков, улиток, рога архаров закручиваются по золотой спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетает свою паутину по золотой спирали.  Природа  повторяет свои находки, как в малом, так и в большом, например семечки в подсолнухе располагаются по золотой спирали,  точно так же, как закручиваются многие галактики, в том числе и галактика Солнечной системы. В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

Логарифмической спираль обладает свойством, что любая прямая, выходящая из полюса спирали, пересекает любой виток под одним и тем же углом. Это свойство применяют в режущих машинах. Вращающиеся ножи в режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания остается постоянным. Нужный угол резания обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. Данная спираль так нравилась швейцарскому математику Якобу Бернулли, что он завещал высечь ее на его могиле.

Спиральная галактика — одна из основных типов галактик. Спиральные галактики названы так, потому что имеют внутри диска яркие рукава звёздного происхождения, которые почти логарифмически простираются из центра. Наша Галактика, как демонстрируют недавние (2005 год) наблюдения также относится к спиральным галактикам.

Сравнение систем координат предполагает исследование и построение в обеих системах, во-первых, координатных линий и, во-вторых, графиков несложных кривых, как-то: спирали Архимеда, спирали Ферма, трех - и черырехлепестковой роз, и исследование общего вида кривых уравнения, в зависимости от входящих в него параметров с помощью программы Microsoft  Excel и среды Advanced Grapher.

Пример 1. Уравнение в прямоугольных координатах имеет вид: .  Формула  рисует кривую -  улитку Паскаля в полярных координатах.

Исследование формы улитки Паскаля в зависимости от параметров a, b сделаны с помощью построения графика кривой в программе Advanced Grapher.

Начиная с внешней кривой:

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Овалы Кассини — алгебраические кривые 4-го порядка.

. Названы по имени Джованни Доменико Кассини.

Исторические сведения. Джовани Кассини родился в 1625 году в Италии и прожил 87 лет. Обучался в школе иезуитов в Генуе. В 1648-1649 годах работал наблюдателем в обсерватории Панзано. За свои познания в астрономии (а еще он добился успехов в гидравлике, оптике, картографии) он был приглашен в 1650 году на должность профессора астрономии для расчета астрологических таблиц. В 1663-1665 годах по личному указанию Папы Римского Кассини руководил работами по защите от наводнений и реконструкции мостов. Он наблюдал комету 1652-53 годов.

В июле 1664 он измерил период вращения Юпитера вокруг своей оси, обнаружил полосы и пятна на этой планете, увидел, что планета была сплющена между полюсами. В 1666 он измерил период вращения Марса вокруг своей оси, открыл четыре спутника Сатурна, в 1675 году открыл промежуток между кольцами Сатурна, шириной 5000км. Он так и называется сейчас – «щель Кассини».

Кассиниана – является геометрическим местом точек, чье произведение расстояний от двух фиксированных фокусов постоянно. Открытая чуть позже лемниската Якоба Бернулли была частным случаем овала Кассини, но это не было осознано математиками в течение ста лет. Если мы будем рисовать овалы Кассини, то получим разные картинки в зависимости от соотношения радиуса кривой и расстояния между фокусами. Это может быть классический овал, овал с сужающимся пояском, переходящий в знак бесконечности и даже распадающийся на две части.

Интересный факт: овалы Кассини получаются при разрезании тора (бублика). Если провести  разрезы параллельно главной оси тора, то можно  увидеть все варианты рассмотренных выше овалов Кассини. (Когда снова придется кушать баранки — не забудьте разглядеть срез).

Задавая различные значения параметров и строя получившиеся кривые, мы можем видеть, как обычные овалы при движении от периферии к центру начинают сужаться, появляется утоньшение посередине и потом перемычка, потом рисунок распадается на две части. Все эти кривые и есть семейство овалов Кассини. А вид их зависит от соотношения параметров a и b.

Пример 3. Розы, ,  а – радиус окружности, k  - коэффициент.

Опытным путем было установлено, что:

1) если коэффициент k – четное число, то роза состоит из 2k  лепестков;

2) если коэффициент k – нечетное число, то роза состоит из  k  лепестков;

3) если коэффициент , – рациональное число, то роза состоит из лепестков при и нечетных лепестков и из 2 лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом следующий лепесток частично покрывает предыдущий);

4) если коэффициент k –иррациональное число, то роза состоит из  бесчисленного множества  лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Пример 4. В полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии, которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений [4, c. 251-252]:

• кувшинки:   (рис. б);
• кислицы: (рис. а);
• настурции: (рис. в);
• стрелолиста: (рис. г).

Контур кувшинки - на самом деле это кардиоида - учащиеся могут построить самостоятельно, а контуры настурции или стрелолиста для построения требуют трудоёмких вычислений. Для того, чтобы учащиеся могли ознакомиться с графиками таких и более сложных функций, а также поэкспериментировать с построением контуров листьев других растений, в программе факультатива отводится время на изучение программы Advanced Grapher. Его достоинством является возможность построения графиков в различных системах координат.

Пример 5. Построить кривую .

Решение. Предлагается построить по точкам, а затем с помощью компьютерной программы, меняя значения коэффициента при угле (таблица дана для k=3).

	3	2,7	2	2,7	3	2,7	2	2,7	3	2,7	2	2,7	3	2,7	2

.

	2,7	3	2,7	2	2,7	3	2,7	2	2,7

Инструкция по построению кривых

с помощью программы Microsoft  Excel.

Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы: X=R*COS(F), Y=R*SIN(F). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой.

Задача. Построить кривую, заданную уравнением .

Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.

Для программы Microsoft  Excel:  R=4*COS(3*F)

Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2. Для того, чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1.

Построим компьютерную модель исследования.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А2 0,1  А3 =А2+0,1  B2 =4*COS(3*F)  C2 =SIN(А2)
D2 =COS(А2)  E2 =B2*D2  F2 =В2*C2

Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы:

Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т. д.

Получим следующий график.

Исследование формы кривой, в зависимости от изменения значений входящих в её уравнение. Внося изменения в ячейку В2, не меняя более ничего, мы можем получать различные виды уравнения .

Замечание. Используя данный алгоритм, можно проводить исследование изменения вида замечательных кривых.

Для самоконтроля, проверки уровня овладения новым материалом и коррекции знаний предлагается провести семинарское занятие. Примерный перечень вопросов.

Вопросы для повторения

1.Как определяется положение точки на плоскости в полярной системе координат?
2. Что называется полярной осью, полярным радиусом-вектором, полярным углом, полярными координатами?
3. Какова связь между декартовыми и полярными координатами?
4. Что называется полярной диаграммой?
5. Что называется координатными линиями? Постройте координатные линии в изученных системах координат.
6. Какую схему рекомендуется использовать для построения графиков функций в полярной системе координат?
7. Расскажите, как построить график в программе Microsoft  Excel.
8. Расскажите о преимуществах полярной системы координат по сравнению с декартовой.
9. Как осуществляется замена координат при переходе от одной системы координат к другой?

Для формирования умений и навыков построения графиков функций в полярной системе координат предлагаются задания в пяти вариантах.

1 - 3. Выполнить упражнения.

варианты	Упражнение 1	Упражнение 2	Упражнение 3
Построить точки по их полярным координатам	Найти декартовы координаты точки по полярным	Найти полярные координаты точки по декартовым
1
2
3
4
5

4 - 6. Постройте графики функций в полярной системе координат.

варианты	Упражнение 1	Упражнение 2	Упражнение 3
1
2
3
4
5

7 - 8. Используя формулы перехода, запишите уравнения заданных линий в полярных координатах.  Постройте полученные линии с помощью программы Microsoft  Excel или Advanced Grapher.

варианты	Задания  7	Ответы
1
2
3
4
5

.

варианты	Задания  8	Ответы
1
2
3
4
5

Таким образом, обогащение понятия системы координат даёт представление о широких возможностях математики, а это важно, ибо “обучение математике в школе помимо общеизвестных целей предполагает ознакомление с различными методами этой науки” [1, с. 234-236].

Литература

Профессиональная компетентность современного учителя: Монография. - Красноярск, 1998. 310 с. , , Графики функций. - Киев: Наук. думка, 1979. 320 с. , , Построение графиков функций. - М.: Высш. шк., 1967. 132 с. , Математика без формул. - М.: Столетие, 1995. 512 с Графики функций. - М.: Высш. шк., 1991. 160 с. Построение графиков функций без использования производной: Метод. рекомендации / Краснояр. гос. ун-т; Сост. . Красноярск, 2000. , , Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых. – Саранск 2007. – 207 с.

Сайты и ссылки

1. http://www. ipfw. edu/math/Coffman/pov/spiric. html - рассказано о сечениях тора с картинками на английском языке. Там же ссылки на биографии математиков и на замечательные кривые.

2. http://www. didaktik. mathematik. uni-wuerzburg. de/mathei/cinderella/cassoval. html - ссылка на апплет, рисующий овалы Кассини, на немецком языке.

3. http://164.8.13.169/Enciklopedija/math/math/c/c084.htm страничка овалов Кассини сайта, посвященному замечательным кривым.
4. http://www-gap. dcs. st-and. ac. uk/~history/Mathematicians/Cassini. html подробная биография Кассини

5. http:///higher/highercc. html прекрасная страничка для любителей красивых кривых, из нее мы узнали об овалах с тремя и более фокусами.