Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.
Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.
Уравнения Навье — Стокса
В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.
Пусть 
— трёхмерный вектор скорости жидкости, 
— давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:
где 
— это кинематическая вязкость, 
— плотность, 
— внешняя сила, 
— оператор набла и 
— оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как 
или 
. Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как
то для каждого значения 
получается соответствующее скалярное уравнение:
Неизвестными величинами являются скорость 
и давление 
. Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:
Начальные условия
Начальные условия к уравнениям Навье—Стокса задаются в виде
,
где 
— заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности 
Варианты постановки задачи
Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве 
с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе 
с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.
В трёхмерном пространстве
Пусть начальная скорость 
— произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса 
и любого 
, существует постоянная 
(зависящая только от 
и K), такая, что
для всех 
Пусть внешняя сила 
— также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):
для всех 
Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при 
. Требуется выполнение следующих условий:
Существует постоянная 
такая, что 
для всех 
Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.
Требуется доказать одно из двух утверждений:
(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в 
. Положим 
. Для любого начального условия 
, удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости 
и поле давления 
, удовлетворяющее условиям 1 и 2.
(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в 
. Существует такое начальное условие 
и внешняя сила 
, такие, что не существует решений 
and 
удовлетворяющих условиям 1 и 2.
Попытки решения
10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям.
