Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел (стр. 4 )

  Определение 2.7. Пара (А, В) непустых подмножеств линейно упорядоченного множества Х называется сечением множества Х, если:

А В = Х;

  2) А В = ∅;

3) для любых х А и у В выполняется неравенство х < у.

  Теорема 4.2. Для любых двух ординальных чисел и всегда осуществляется одно и только одно из трёх случаев: либо < , либо = , либо > .

  Доказательство.

  Пусть даны два ординальных числа и . Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что и могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: = , < , > .

  Обозначим через D множество W () W (). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через . Докажем неравенства , . Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем  D W ().  Если D = W (),  то есть  порядковый  тип  множества W (), то есть = . Пусть D W (). Разбиение W () = D(W()\D) есть сечение  во  вполне  упорядоченном  множестве W (). В самом деле, пусть х D, у W ()\D. Так как W () линейно упорядочено, то либо х < y, либо у < х.  Покажем,  что  второй  случай  невозможен. Действительно, так как хW (), хW (), то  одновременно х < и х < . Если  бы  было  у < х,  то было  бы  у < ,  у < ,  то есть  у D.  Итак,  доказано,  что  х < у  для  любых  х D, у W ()\D, а это и означает, что  (D, W ()\D) есть сечение в W (). Пусть < есть первый элемент в W ()\D. Тогда отрезок, отсекаемый в W () элементом , совпадает с D, то есть есть порядковый тип множества D, = и < .

  Аналогично доказывается, что .

  Однако, неравенства < и < не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы D, так что было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D.

  Таким образом, имеются лишь следующие возможности:

1) = , = и, значит, = ;

2) = , = и, значит, < ;

3) < , = и, значит, < . ■