Учебно-методический комплекс Наименование дисциплины: «Теория экстремальных задач»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

Согласовано Председатель методического совета специальностей и направлений __________________ «____»______________________	Утверждаю Декан факультета физико-математических и естественных наук ____________________ «___» ___________________________

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Наименование дисциплины:
«ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ»

Рекомендуется для направления 01.06.01 Математика и механика, профиль 1 Дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимизация
(высшее образование – подготовка кадров высшей квалификации)

Квалификация (степень) выпускника:
Исследователь. Преподаватель-исследователь

Составитель:

зав. кафедрой нелинейного анализа
и оптимизации РУДН,

д. ф.-м. н., проф.

___________________

2014

СОДЕРЖАНИЕ

1. ПРОГРАММА КУРСА        3

Сведения об авторе курса        3

Краткое описание курса        3

Структура курса        4

Учебно-тематический план        5

Описание интерактивных занятий        5

Балльно-рейтинговая система оценки уровня знаний аспирантов        6

Литература        7

2. УЧЕБНИК        8

3. ФОНДЫ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ        9

Словарь (глоссарий) основных терминов и понятий        9

Методические указания для преподавателя и обучающихся        10

Сборник задач и упражнений        11

Тестовые задания по темам (для самоконтроля)        13

Перечень тем рефератов и эссе        16

1. ПРОГРАММА КУРСА

Сведения об авторе курса

Заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации. По совместительству – профессор кафедры системного анализа ВМиК МГУ. Окончил физико-математическую школу № 2 г. Москвы (1973), факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ с отличием (1978), аспирантуру факультета ВМиК (1981).  Кандидат физико-математических наук (1981), тема диссертации: «Гладкость функции значений оптимального времени в задачах быстродействия» (научный руководиДоктор физико-математических наук (1988), тема диссертации «Возмущение задач оптимального управления и необходимые условия экстремума первого и второго порядка». Ученое звание – профессор (1991).

Член редколлегии журналов "Дифференциальные уравнения", "Journal of Optimization Theory and Applications", "Yugoslav Journal of Operations Research", "Taiwanese Journal of Mathematics".

Работает в РУДН с 1982 г.: доцент кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (1982-1991), профессор кафедры дифференциальных уравнений (с 1991), заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и функционального анализа (с 1997) (в 2005 году кафедра переименована в кафедру нелинейного анализа и оптимизации). В 2012 г. в 4-й раз выбран заведующим кафедрой. Подготовил 10 кандидатов наук. Автор более 100 научных работ, в том числе: Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997; Optimality conditions: Abnormal and Degenerate Problems - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2000; К теории вырожденных квадратичных форм классического вариационного исчисления // Известия РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 6. С. 3-50; Условия второго порядка в экстремальных задачах с конечномерным образом. 2-нормальные отображения // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60. № 1. С. 37-62.

Область научных интересов: теория оптимального управления, теория экстремальных задач, нелинейный анализ.

Краткое описание курса

Название курса: «Теория экстремальных задач»

Трудоемкость: 4 кредита

Цель курса: Основной целью курса является выработка у учащихся навыков формулировки и постановки различных классов экстремальных задач. Осознание важности выбора различных критериев оптимальности. Обучение учащихся различным современным методам исследования экстремальных задач и задач оптимального управления. Освоение соответствующего математического аппарата.

Уровень обучения: аспирантура

Для каких направлений и специальностей, циклов (по действующему перечню) является обязательным, может быть курсом по выбору:

Обязательным: Направление: 01.06.01 – Математика и механика, профиль 1 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимизация (Блок 1. Образовательные дисциплины (модули), Вариативная часть).

Курс теоретический.

Организационно-методическое построение курса. Курс состоит из лекций, практических занятий (семинаров) и консультаций. Формат семинара – презентация ключевых идей хрестоматийных источников-текстов по курсу. Конкретно презентация выглядит так: обучаемый выбирает одну из ключевых идей обсуждаемого на семинаре текста, готовит в виде тезисов (на 1–1,5 стр.) свое ее понимание и критическую оценку, затем на семинаре все это представляется и защищается. Тезисы заранее размножаются и раздаются всем участникам семинара. Предполагается написание реферата – по теме, согласованной с преподавателем. Объем реферата – не более 15 тысяч знаков с пробелами. Как реферат принимается также перевод статьи зарубежного автора вместе с развернутой критико-аналитической ее оценкой. Согласование и автора, и текста с преподавателем обязательно. Внутрисеместровая аттестация проводится в виде контрольной работы по пройденному материалу. В конце семестра – экзамен в форме эссе по одной из предложенных (на выбор) преподавателем тем. После собеседования выставляется итоговая оценка.

Структура курса

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации, факультет физико-математических и естественных наук.

Обязательный курс.

Форма обучения: очная.

Количество аудиторных часов: 20 лекций по 2 аудиторных часа; 20 семинаров по 2 аудиторных часа. Всего: 80 аудиторных часов.

Самостоятельная работа: 64 часа.

Итого: 144 часа.

Темы лекций

Лекции 1–2. Как формализуются экстремальные задачи?

Лекции 3–4. Правило множителей Лагранжа

Лекции 5–6. Математический аппарат

Лекции 7–8. Принцип Лагранжа

Лекции 9–10. Условия 2-го порядка

Лекции 11–12. Анормальные задачи

Лекции 13–14. Классические задачи оптимального управления

Лекции 15–16. Задачи со смешанными ограничениями

Лекции 17–18. Метод динамического программирования

Лекции 19–20. Задача управляемости

Темы семинарских занятий

Занятия 1–2. Как формализуются экстремальные задачи?

Занятия 3–4. Правило множителей Лагранжа

Занятия 5–6. Математический аппарат

Занятия 7–8. Принцип Лагранжа

Занятия 9–10. Условия 2-го порядка

Занятия 11–12. Анормальные задачи

Занятия 13–14. Классические задачи оптимального управления

Занятия 15–16. Задачи со смешанными ограничениями

Занятия 17–18. Метод динамического программирования

Занятия 19–20. Задача управляемости

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование раздела	Лекц.	Практические занятия и лабораторные работы	СРС	Всего
ПЗ/С	ЛР	из них в ИФ
Как формализуются экстремальные задачи?	4	4	4	6	14
Правило множителей Лагранжа	4	4	4	6	14
Математический аппарат	4	4	4	6	14
Принцип Лагранжа	4	4	4	6	14
Условия 2-го порядка	4	4	4	6	14
Анормальные задачи	4	4	4	6	14
Классические задачи оптимального управления	4	4	4	6	14
Задачи со смешанными ограничениями	4	4	4	6	14
Метод динамического программирования	4	4	4	6	14
Задача управляемости	4	4	4	10	16
Итого:	40	40	40	64	144

Описание интерактивных занятий

№ п/п	Тема интерактивного занятия	Вид занятия	Трудоемкость (час.)
Как формализуются экстремальные задачи?	беседа	4
Правило множителей Лагранжа	беседа	4
Математический аппарат	беседа	4
Принцип Лагранжа	круглый стол	4
Условия 2-го порядка	беседа	4
Анормальные задачи	беседа	4
Классические задачи оптимального управления	игра	4
Задачи со смешанными ограничениями	беседа	4
Метод динамического программирования	беседа	4
Задача управляемости	беседа	4

Балльно-рейтинговая система оценки уровня знаний аспирантов

Работа в семестре

Максимальное число баллов, набранных в семестре, – 100

Вид задания	Число заданий	Кол-во баллов	Сумма баллов
1. Посещение лекций	20	0,5	10
2. Практические занятия	20	0,5	10
3. Контрольные работы	4	5	20
4. Реферат	1	20	20
5. Экзамен	1	40	40
ИТОГО	100

Соответствие систем оценок (используемых ранее оценок итоговой академической успеваемости, оценок ECTS и балльно-рейтинговой системы (БРС) оценок текущей успеваемости) (в соответствии с Приказом Ректора г.):

Баллы БРС	Традиционные оценки в РФ	Баллы для перевода оценок	Оценки	Оценки ECTS
86 - 100	5	95 - 100	5+	A
86 - 94	5	B
69 - 85	4	69 - 85	4	C
51 - 68	3	61 - 68	3+	D
51 - 60	3	E
0 - 50	2	31 - 50	2+	FX
0 - 30	2	F

Пояснение к таблице оценок

Описание оценок ECTS

A	“Отлично” - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.
B	“Очень хорошо” - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения большинства из них оценено числом баллов, близким к максимальному.
C	“Хорошо” - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы недостаточно, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены, качество выполнения ни одного из них не оценено минимальным числом баллов, некоторые виды заданий выполнены с ошибками.
D	“Удовлетворительно” - теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных  программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий, возможно, содержат ошибки.
E	“Посредственно” - теоретическое содержание курса освоено частично, некоторые практические навыки работы не сформированы, многие предусмотренные программой обучения учебные задания не выполнены, либо качество выполнения некоторых из них оценено числом баллов, близким к минимальному.
FX	“Условно неудовлетворительно” - теоретическое содержание курса освоено частично, необходимые практические навыки работы не сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий не выполнено, либо качество их выполнения оценено числом баллов, близким к минимальному; при дополнительной самостоятельной работе над материалом курса возможно повышение качества выполнения учебных заданий.
F	“Безусловно неудовлетворительно” - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы не сформированы, все выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к какому-либо значимому повышению качества выполнения учебных заданий.

Положительными оценками, при получении которых курс засчитывается обучаемому в качестве пройденного, являются оценки A, B, C, D и E.

Обучаемый, получивший оценку FX по дисциплине образовательной программы, обязан после консультации с соответствующим преподавателем в установленные учебной частью сроки успешно выполнить требуемый минимальный объем учебных работ, предусмотренных программой обучения, и представить результаты этих работ этому преподавателю. Если качество работ будет признано удовлетворительным, то итоговая оценка FX повышается до E и обучаемый допускается к дальнейшему обучению.

В случае, если качество учебных работ осталось неудовлетворительным, итоговая оценка снижается до F и обучаемый представляется к отчислению. В случае получения оценки F или FX обучаемый представляется к отчислению независимо от того, имеет ли он какие-либо еще задолженности по другим дисциплинам.

Литература

основная:

1. , Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

2. Лекции по математической теории экстремальных задач. Ижевск: РХД, 2004.

3. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997.

4. , Оптимальное управление: Учебник для вузов. 2-е изд. М.: Физматлит, 2005.

5. , , Магарил- Принцип максимума Понтрягина: Доказательства и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006.

дополнительная:

1. , , Сборник задач по оптимизации. М.: Физматлит, 2008.

2. УЧЕБНИК

, , Магарил- Принцип максимума Понтрягина: Доказательства и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006.

3. ФОНДЫ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

Словарь (глоссарий) основных терминов и понятий

Выпуклый компакт в Rn: выпуклое замкнутое ограниченное множество в Rn.

Линейная задача оптимального быстродействия: объект описывается системой линейных дифференциальных уравнений вида . Задача состоит в выборе управления u(t), переводящего систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за минимальное время.

Линейная задача терминального управления: задача оптимального управления с критерием качества управления, заданным функцией конечного состояния.

Метрика Хаусдорфа: расстояние по Хаусдорфу между двумя множествами P и Q определяется как R(P, Q) = min ε, такое что и одновременно.

Множество достижимости: множество концов траекторий системы, соответствующих всевозможным допустимым управлениям и рассматриваемых в заданное время.

Область управляемости: множество начальных состояний управляемой системы, из которых система может быть переведена в заданное состояние с помощью допустимых управлений.

Опорная функция: множество F, такое что .

Стабилизация управляемых систем: выбор управления, которое придает системе свойство устойчивости.

Управляемость дифференциальных систем означает возможность выбора допустимого управления, переводящего систему из одного состояния в другое.

Методические указания для преподавателя и обучающихся

Правила выполнения письменных работ (рефератов, тезисов, тестов, экзаменационных эссе). Темы рефератов (тексты для перевода и критического анализа) обучающиеся выбирают сами (согласование с преподавателем предполагается). Не разрешается представлять одну и ту же работу (тему) более чем по одному предметному курсу. Форматные требования к набранным на компьютере рефератам, а также презентационным тезисам: полуторный межстрочный интервал; кегль – 14; цитирование, сноски, библиография – в соответствии с принятыми стандартами. В случае затруднений, связанных с оформлением подготовленных текстов, студент может проконсультироваться у преподавателя.

Темами экзаменационных эссе являются все темы лекций. Вопросы же для эссе (7–10 на выбор) объявляются прямо на экзамене. Экзаменационное эссе представляет собой письменную работу обучающегося. Его нормативный образ – быть не просто описанием избранной темы, а объяснением ее проблемного характера, критической оценкой рассматриваемых взглядов, аргументированным представлением своей точки зрения.

От обучающихся требуется внимательное отношение к орфографии, пунктуации и  стилю изложения, так как погрешности в языке влияют, и существенно, на чистоту аргументации, а следовательно, и на общую оценку.

Академическая этика. Все имеющиеся в реферате сноски тщательно выверяются и снабжаются «адресами». Случаи плагиата должны быть исключены. Плагиат есть не что иное, как присвоение авторства, проще говоря, воровство интеллектуальной собственности. Более конкретно, к плагиату относится:

а) включение в свою работу выдержек из работ других авторов без указания на это (в виде соответствующей ссылки);

б) близкий к тексту пересказ какого-то «места» из чужой работы без отсылки к ней;

в) использование чужих идей без указания первоисточника.

Данное требование относится также и к источникам, найденным в Интернете. Ничего принципиально нового здесь нет – нужно просто указать полный адрес сайта (сайтов). Обучающиеся должны писать работы своими словами, упоминая все использованные источники информации. Прямое цитирование должно быть сведено к минимуму и не превышать 40–50 слов. В конце письменной работы обязательно дается список всех использованных источников. В случае экзаменационного эссе ссылки на первоисточники не могут удовлетворять всем указанным выше требованиям, но и там они нужны.

Сборник задач и упражнений

, , Магарил- Принцип максимума Понтрягина: Доказательства и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006. С. 131–134.

Тестовые задания по темам (для самоконтроля)

1.        Могут ли образовать поле на отрезке ?

       а) Да

       б) Нет

2.        Могут ли образовать поле на отрезке ?

       а) Да

       б) Нет

3.        Имеет ли функционал хотя бы одну экстремаль ?

       а) Да

       б) Нет

4.        Является ли экстремалью функционала

?

       а) Да

       б) Нет

5.        Образуют ли поле функции x = et + C на [0, b] ?

       а) Да

       б) Нет

6.        Является ли положительно определенной функция Вейерштрасса для

?

       а) Да

       б) Нет

7.        Является ли знакоположительной функция Вейерштрасса

?

       а) Да

       б) Нет

8.        Является ли функция Вейерштрасса знакопеременной для функционала

       а) Да

       б) Нет

9.        Выполняется ли принцип Ферма в случае дифференцируемости функционала по Гато?

а) Да

б) Нет

10.        Всюду ли дифференцируем функционал

F(x) = |x(0)| ?

а) Да

б) Нет

11.        Есть ли у функционала нулевая экстремаль?

а) Да

б) Нет

12.        Являются ли окружности экстремалями функционала ?

а) Да

б) Нет

13.        Может ли прямая x = t быть экстремалью функционала ?

       а) Да

       б) Нет

14. Является ли функционал , непрерывным в ?

       а) Да

       б) Нет

15.        Образует ли поле семейство кривых , 0 ≤ t ≤ 1?

       а) Да

       б) Нет

16.        Образуют ли поле кривые , ?

       а) Да

       б) Нет

17.        Образуют ли поле кривые , ?

       а) Да

       б) Нет

18.        Имеет ли функционал центральное поле?

       а) Да

       б) Нет

19.        Имеет ли функционал центральное поле?

       а) Да

       б) Нет

ОТВЕТЫ

1 – а

2 – а

3 – а

4 – б

5 – а

6 – б

7 – б

8 – а

9 – а

10 – б

11 – а

12 – а

13 – а

14 – б

15 – а

16 – а

17 – а

18 – а

19 – а

Перечень тем рефератов и эссе

Метрическое пространство. Полнота. Примеры. Полнота пространства непрерывных функций  С[a, b]. Пополнение метрических пространств. Теорема о пополнении. Теорема о вложенных шарах. Открытые замкнутые множества в метрических пространствах. Сходимость. Непрерывные отображения метрических пространств. Сжимающие отображения в метрических пространствах, свойства, примеры. Принцип сжимающих отображений и его доказательство. Приложение принципа сжимающих отображений к существованию решения задачи Коши. Компактное метрическое пространство. Центрированные системы множеств. Необходимое и достаточное условие компактности в терминах центрированных систем множеств. Понятие компактного метрического пространства. Вполне ограниченное множество. Связь секвенциальной компактности и вполне ограниченности. Достаточное условие секвенциальной компактности в терминах центрированных систем множеств. Компактное метрическое пространство. Сепарабельное метрическое пространство.

       Сепарабельность компактного пространства.

Понятие компактного метрического пространства. Вполне ограниченное множество. Достаточное условие компактности в терминах вполне ограниченности. Нормированные и банаховы пространства. Примеры. Линейные операторы в нормированных пространствах. Ограниченность и непрерывность. Евклидовы пространства и гильбертовы пространства. Примеры. Процесс ортогонализации и существование ортогональных базисов. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Замкнутые и полные системы. Теорема Рисса – Фишера. Теорема об изоморфизме гильбертова пространства. Подпространства, ортогональные дополнения, прямая сумма. Линейные операторы в гильбертовых пространствах, компактные и самосопряженные операторы. Примеры. Теорема Гильберта – Шмидта (без доказательства). Теорема Гильберта о представлении линейного функционала в гитльбертовом пространстве (без доказательства). Сходимость и слабая сходимость в гильбертовых пространствах. Неравенство Коши – Буняковского. Системы множеств. Кольца, полукольца, у-алгебры и их свойства. Меры на полукольце, продолжение на минимальное кольцо. Основные свойства. Лебегово продолжение меры. Основные свойства. Внешняя мера и ее счётная полуаддитивность. Теорема о том, что измеримое множество образует алгебру (с доказательством). Измеримые функции и их арифметические свойства. Сходимость последовательности измеримых функций и ее свойства. Простые функции и их свойства. Интеграл  Лебега для простой функции и его свойства. Определение интеграла Лебега измеримой функции. Основные свойства интеграла Лебега измеримой функции. Теорема Егорова (без доказательства). Сходимость почти всюду и сходимость по мере. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Лебега о непрерывном переходе (с доказательством). Теорема Леви и лемма Фату (без доказательства).