Задачи

Задача №1 (Вариант №3)

Исходные данные

Q	2000 л/ч	оок	1.9
ДPг / грт	275 мм рт. ст.	ок	1.9
н	0.045 см2/с	оф	2.0
Pп / г	300 мм рт. ст.	ор	0.7
ДPкавит	0.5 Н/см2	L1	1.0 м
d	20 мм	L2	1.3 м
j	2.1 м/с2	L3	0.8 м
грт	133.6 кН/м3	L4	0.5 м
гтопл	8.2 кН/м3	L	2.0 м
z2 – z1	0.3 м

Замечание 1.        В исходном условии в таблице указано «z1, z2 = 0.3 м». Единственным осмысленным вариантом интерпретации данного выражения является «z2 – z1 = 0.3 м» (см. схему топливной системы).

Замечание 2.        Обратим особенное внимание на условие «Pп / г = 300 мм рт. ст.».  По-видимому, здесь имеется в виду объёмный вес ртути, а не масла. Основание так думать даёт тот факт, что единицами измерения тогда должны были бы быть не мм ртутного столба, а мм масляного столба. К тому же, в случае масла давление парообразования оказалось бы неправдоподобно низким.

Замечание 3.        К местным потерям относятся потери на обратном клапане, кране и фильтре. Данное в условии ор = 0.7 не будем учитывать в решении, т. к. расходомера (видимо, он имеется в виду) на схеме нет.

Решение

Приведём некоторые из данных в условии величин к общим единицам измерения.

Q = 2000 л/ч = 5.56*10-4 м3/с Плотность масла с = г/g = 837 кг/м3 н = 0.045 см2/с = 4.5*10-6 м2/с ДPк = 0.5 Н/см2 = 5 кН/м2 d = 20 мм = 0.02 м ДPг = 275 мм рт. ст. * 133.6 кН/м3 = 36.7 кН/м2 Pп = 300 мм рт. ст. * 133.6 кН/м3 = 40.1 кН/м2

Учтём теперь разгон самолёта. Пусть а – векторная сумма ускорений свободного падения и инерции,  . Т. к. суммарное ускорение направлено под углом к вертикали – разность высот между поверхностью топлива и на входе в основной насос надо пересчитать. Из геометрических соображений следует (обозначения z, x, y, б см.  на рисунке):

sin б ≈ tg б ≈ 2/10 = 0.2;

cos б ≈ 1

z * tg б = 0.3 м * 0.2 = 0.06 м

y = L – 0.06 м = 1.94 м

x = y * sin б = 1.94 м * 0.2 = 0.388 м

Тогда полная «новая» разность высот Дzнов = x + z/cos б ≈ 0.7 м

Здесь же рассмотрим инерционный напор. Хотя самолёт и движется ускоренно – но движение масла в топливной системе ускоренным относительно топливной системы не является уже после первых мгновений разгона. Поэтому, хотя формально hин = (L1+L2+L3+L4)/a*dv/dt = 0.72 м (где, вообще говоря, необоснованно предположено, что dv/dtмасла = jсамолёта) – учитывать в таком виде ускоренное движение было бы неверно. Тем более что оно уже учтено в Дzнов. Тем не менее, во время начала разгона этот инерционный напор условно можно рассматривать как слабый гидравлический удар. И топливная система должна быть защищена от кавитации именно в этот момент. Поэтому для расчётов будем предполагать, что максимально возможное hин = 0.72 м.

Запишем уравнение Бернулли для свободной поверхности топлива в баке и на входе в основной насос. Cкоростью V1 на входе в подкачивающий насос пренебрегаем. Скорость потока найдём из уравнения непрерывность V = Q/S = 4Q/рd2 = 1.77 м/с. Т. к. число Рейнольдса Re = Vd/х = 7866, то режим турбулентный. Коэффициент кинетической энергии для расчётов можно принять б = 1.0.

 

Потери в турбулентном режиме вычисляются следующим образом (с применением формулы Блазиуса:):

Теперь можем найти атмосферное давление:

Этому давлению (см. график) соответствует высота полёта H ≈ 4.3 км.

Если же не учитывать инерционные потери во время начала разгона (hин = 0), то получим:

Этому давлению соответствует высота полёта H ≈ 6.4 км.

Задача №2 (Вариант №1)

Исходные данные

t1, t2	30 мин
W1, W2	30 тыс. л
н	0.045 см2/с
L1	5 м
L2	1 м
Z1	0.3 м
Z2	2 м

Решение

Суммарный поток в оба бака Qобщ = (W1+W2)/t1 = 2000 л/мин = 0.034 м3/с.

По графику определяем Hнасоса = 14 м.

Найдём потери в общем шланге:

V = 4Qобщ/рdш2 = 4.24 м/с

Re = Vdш/х = 94314, т. е. режим турбулентный

С учётом формулы Блазиуса потери

Тогда располагаемый напор Hр = Hнасоса – hш – Z2 = 11.34 м

Для нахождения диаметров трубопроводов рассчитаем потери при разных диаметрах. Предварительно определим некоторые необходимые величины.

Критическое число Рейнольдса Reкр = 2300 = Vdкр/х = 4Q/рdкрх, откуда находим: dкр = 4Q/рReкрх = 2.05 м. Отсюда очевидно, что при любых разумных диаметрах режим течения будет турбулентным. Баки имеют одинаковый объём и должны заполняться за одинаковое время, поэтому

Q1 = Q2 = Qобщ/2 = 0.0167 м3/с

Теперь нам необходимо, задаваясь рядом диаметров (d), определить соответствующие им потери в каждом из простых трубопроводов (после разветвления от общего шланга). Приведём формулы, которые будут использоваться в расчёте:

Таким образом, в ходе решения будем учитывать потери не только по длине, но также на разветвлении и на входе в бак (), т. к. они составляют существенную величину потерь. Потери на разветвлении для упрощения посчитаны как потери для внезапного сужения потока (для каждого трубопровода в отдельности). Скоростью течения на свободной поверхности бака пренебрегаем. По требованию наименьшей материалоёмкости и полного использования располагаемого напора будем искать наименьшие возможные диаметры шлангов, что влечёт за собой Hр = Hпотр.

Результаты вычислений представлены в таблице и на графике. 

d, мм	43.0	43.6	44.0	45.0	46.0	47.0	48.0	48.5	49.0	49.5	50.3	50.5
d, м	0.043	0.044	0.044	0.045	0.046	0.047	0.048	0.049	0.049	0.050	0.050	0.051
V, м/с	11.48	11.19	10.96	10.48	10.03	9.61	9.21	9.02	8.84	8.66	8.39	8.32
Re	109667	108282	107175	104793	102515	100334	98244	97231	96239	95267	93770	93380
л	0.0174	0.0174	0.0175	0.0176	0.0177	0.0178	0.0178	0.0179	0.0179	0.0180	0.0181	0.0181
одл1	2.02	2.00	1.98	1.95	1.92	1.89	1.86	1.84	1.83	1.82	1.80	1.79
одл2	0.40	0.40	0.40	0.39	0.38	0.38	0.37	0.37	0.37	0.36	0.36	0.36
осуж	0.33	0.33	0.33	0.32	0.31	0.30	0.30	0.29	0.29	0.28	0.28	0.28
обак	1.00
hтр1, м	22.52	21.26	20.29	18.32	16.58	15.03	13.66	13.03	12.43	11.87	11.04	10.84
hтр2, м	11.67	11.04	10.56	9.57	8.70	7.92	7.22	6.90	6.60	6.31	5.88	5.78
Hпотр1, м	22.82	21.56	20.59	18.62	16.88	15.33	13.96	13.33	12.73	12.17	11.34	11.14
Hпотр2, м	11.97	11.34	10.86	9.87	9.00	8.22	7.52	7.20	6.90	6.61	6.18	6.08

Из проведённых вычислений видно, что d2 = 43.6 мм, d1 = 50.3 мм.