УДК 539.3

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ИВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ К ЧИСЛЕННОМУ АНАЛИЗУ СЛОИСТЫХ УПРУГИХ ТОНКОСТЕННЫХ СИСТЕМ

Кафедра алгебры и геометрии

Кемеровский Государственный Университет

В течение последних десятилетий тонкостенные анизотропные слоистые пластинки и оболочки являются объектом многочисленных исследований. Такие пластинки и оболочки представляют собой основные несущие элементы ответственных инженерных конструкций и сооружений, применяемых в современной авиационной  и ракетной технике, судостроении, энергетическом и химическом машиностроении и т. д. Жесткие условия их эксплуатации – экстремальные статические и динамические режимы нагружения, химически агрессивные среды, радиационные воздействия и т. д., в сочетании с ограничениями по весу и необходимостью обеспечения полной надежности, предъявляют повышенные требования к используемым конструкционным материалам. Наиболее полно этим требованиям удовлетворяют композитные материалы, широкие возможности варьирования внутренней структуры которых предоставили конструктору эффективный инструмент целенаправленного управления параметрами тонкостенных оболочных систем и открыли путь к созданию рациональных облегченных конструкций, наилучшим образом отвечающих всем особенностям режима их эксплуатации.

Внедрение композитов в тонкостенные несущие элементы конструкций и их широкое использование в разнообразных изделиях современной техники выявили необходимость учета новых факторов и поставили перед учеными и специалистами принципиально новые важные задачи механики как композитных материалов, так и конструкций на их основе. К таким факторам, в значительной степени определяющим несущую способность композитных оболочек, следует отнести резко выраженную анизотропию деформативных свойств армированного материала и его низкое сопротивление трансверсальным деформациям. Классическая теория оболочек пренебрегает такими деформациями, что потребовало отказа от традиционных расчетных схем и разработки уточненных математических моделей деформирования тонкостенных слоистых систем. Поэтому создание новых и развитие существующих уточненных методов расчета слоистых анизотропных пластин и оболочек, их апробация и определение границ применимости является важной и актуальной задачей.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Результаты исследований по теории слоистых пластин и оболочек обобщены в монографиях и др. [1], [2], и [3], [4], и [5], , [6], [7], [9], и [10], и [11], и [12] и др.

В данной работе рассматривается класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при анализе осесимметричного напряженно-деформированного состояния слоистых композитных оболочек вращения. Исследование таких оболочек требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений, позволяющих учесть поперечно-сдвиговые деформации. Существенной особенностью таких уравнений является наличие резко выраженных краевых эффектов, затрудняющих численное исследование решений традиционными методами такими, например, как метод дискретной ортогонализации [8], конечно-разностные методы [8] и др. В работе [3] предложен эффективный метод решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения. В этом методе первоначальная линейная краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к нелинейной задаче Коши для двух жестких матричных дифференциальных уравнений, решение которых может быть эффективно вычислено.

Дадим краткое описание этого метода и его применение к задаче цилиндрического изгиба  прямоугольной пластинки.

1. Рассмотрим краевую задачу

    (1.1)

    (1.2)

Здесь – независимая переменная, – искомая матрица, , – заданные непрерывные и матрицы соответственно; , – числовые матрицы; , – числовые матрицы, причем представлена в виде , где , – единичная и нулевая матрицы.

Следуя [3], введем матрицы , , :  , , , матрицу и матрицу :

,

и, наконец, матрицы , :

,

где определяются из матричных дифференциальных уравнений:

,

,

,

соответственно.

Пусть требуется определить матрицу – решение краевой задачи (1.1), (1.2) – в точках . Процесс численного определения искомых величин , , …, по методу инвариантного погружения осуществляется в несколько шагов.

Проинтегрировать на [0, 1] задачу Коши

  ,  (1.3)

совместно с  уравнением

  ,  (1.4)

,

строя в процессе численного решения матрицы и .

2. Найти матрицу из линейной алгебраической системы уравнений

, 

получающейся в результате подчинения решения в форме

    (1.5)

краевому условию (1.2) в точке .

3. Положить и равенством определить матрицу .

4. Восстановить матрицу :

и по формуле (1.5) вычислить решение .

5. Если , то уменьшить на 1 и выполнить следующие операции:

а)восстановить матрицу по формуле 

,

где и матрицы соответственно;

б) сформировать матрицу  :

;

в) перейти к пункту 4.

В ходе расчетов, выполненных в [3] для слоистых оболочек вращения важных частных классов (цилиндрических, конических и др.) с использованием разработанных в [3] неклассических уравнений, выявлено, что спектральный радиус матрицы Якоби правой части системы дифференциальных уравнений (1.3), (1.4) и спектральный радиус матрицы коэффициентов первоначальной системы уравнений изгиба – величины одного порядка. Спектр матрицы Якоби характеризуется большим разбросом и, что существенно, весь лежит в левой комплексной полуплоскости. Такие системы дифференциальных уравнений относятся к классу жестких (в смысле определения [13]). Их устойчивое численное требует привлечения неявных методов [13].

2. В качестве примера применения метода рассмотрена задача цилиндрического изгиба жестко-защемленной прямоугольной пластинки,  нагруженной равномерно распределенным давлением интенсивности (см. рис.1).

Рис.1. Прямоугольная пластинка, жестко-защемленная на концах.

Решение этой задачи сводится к интегрированию краевой задачи

  ,   (2.1) 

Здесь – жесткость пластинки при изгибе, – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, – толщина пластинки, – ширина пластинки.

Приведем задачу (2.1) к матричной форме. С этой целью введем безразмерные переменные и параметры

().

В этих переменных задача цилиндрического изгиба прямоугольной пластинки запишется следующим образом:

  ,    (2.2)

, , ().

К задаче (2.2) применен алгоритм метода инвариантного погружения. Получены следующие графики прогибов пластинки:

 

 

ЛИТЕРАТУРА

, , Расчет многослойных пластин и оболочек из композитных материалов. –  М.: Машиностроение, 1984. –  264 с.  Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания. – М.:Наука, 1987. –  360 с. , Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания – Новосибирск: Наука, 2001. –  287 с. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. – Рига.: Зинатне, 1987. –  295 с.  , Механика многослойных конструкций. – М.: Машиностроение, 1980.  375 с. , , Устойчивость оболочек из армированных материалов. – Киев.:Наук. думка, 1987. –  221 с.   Механика конструкций из композитных материалов. – М.: Машиностроение, 1988. –  269 с.  Численные методы – Москва «Наука», 1982. –  197-220 с. Уточненные теории пластин и оболочек. – Саратов: Изд-во ун-та, 1990. –  136 с. , Чулков  и колебание трехслойных оболочек. – М.: Машиностроение, 1973. –  170 с. , Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. – М.: Машиностроение, 1988. –  287 с. , Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. –М.: Наука, 1992. –  396 с. стойчивость методов Рунге – Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1988. –  332 с. 

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор