НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных
Дисциплина «Теория и обработка сигналов», 5 - й семестр
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Цель работы: изучение понятия спектра периодического сигнала, приобретение практических навыков вычисления и построения графиков спектров сигналов в среде MATLAB.
Задание и порядок выполнения работы.
Познакомьтесь с разложением в ряд Фурье периодических непрерывных сигналов и понятиями амплитудного и фазового спектров сигнала по учебной литературе, например, [1] стр. 19 – 27 или [2] стр. 21 -30. Получите аналитически коэффициенты разложения в комплексный ряд Фурье для сигнала, заданного преподавателем, запишите после этого ряд Фурье сигнала. Сопоставьте результат с видом ряда Фурье, приведенным в задании. Постройте графики амплитудного и фазового спектров сигнала. При выполнении задания п.2 можно ориентироваться на пример, приведенный в Приложении 2. Напишите и выполните файл-сценарий (М-файл), позволяющий построить в Matlab графики амплитудного и фазового спектров сигнала. Соответствующий пример представлен в Приложении 3. Определите спектр Фурье сигнала с помощью функции fft() Matlab. Эта функция является основной процедурой проведения спектрального анализа в Matlab. Ознакомьтесь по справочной системе с данной функцией.
Процедура fft() вычисляет
. От коэффициентов Фурье дискретного периодического сигнала x[n] с периодом N 
значения X(k+1) отличаются множителем 
и смещением индексов на 1, так как индексация массивов в Matlab начинается с 1. Поэтому коэффициенты ряда Фурье периодического дискретного по времени сигнала равны fft()/N, где N – размер (длина) вектора fft(). Определите коэффициенты ряда Фурье с помощью fft() для сигнала, заданного в п.2, постройте и сопоставьте графики амплитудного спектра по п.3 и п.4. В Приложении 4 приведен пример соответствующей программы. Обратите внимание на периодический характер спектра, вычисленного с помощью fft(), объясните причину периодичности. Составьте и выполните файл-сценарий для исследования сходимости ряда Фурье к исходному периодическому сигналу (индивидуальное задание, п.2) в соответствии с примером, приведенным в Приложении 5. Пронаблюдайте и объясните особенности сходимости ряда для четырех значений числа членов ряда и явление Гиббса, возникающее при конечном числе членов ряда Фурье у сигналов с разрывами поведения функций.
Пояснение. Для увеличения фрагмента графика используйте команду zoom on – включение режима увеличения, zoom off – отключение увеличения. Рассмотрите периодический сигнал x(t) в виде квадратной волны c периодом T0, такой, что
Можно показать аналитически, что ряд Фурье этого сигнала имеет вид
, где ak=0 для четных k и ak = 4/(рk) для нечетных k.Используя в качестве прототипа процедуру Приложения 5, сгенерируйте приближенную аппроксимацию квадратной волны длительностью 2 с и периодом T0, соответствующим ноте Ре первой октавы (частота 293,66 Гц). Количество гармоник при аппроксимации возьмите равным десяти, т. е. используются гармоники с номерами k = 1,3,5,…,19. Сгенерируйте также гармонический сигнал, соответствующий ноте Ре первой октавы длительностью 2 с. Для этого можно использовать процедуру harmonic() из лабораторной работы № 1. Постройте и сопоставьте графики первых 100 отсчетов для обоих сигналов при частоте отсчетов 8192 Гц.
Прослушайте звучание обоих сигналов, используя функцию sound(). Имеются ли различия в звучании сигналов? Квадратная волна в этом случае может трактоваться как гармоника с обертонами.
В частности, звучание ноты До первой октавы на фортепиано может быть аппроксимировано выражением
Сгенерируйте и прослушайте соответствующий сигнал, представьте его спектр. Факультативное задание. Выполните задачу синтеза периодического сигнала, заданного в индивидуальном задании (п.2), с использованием пакета Simulink.Simulink – это пакет расширения Matlab, предназначенный для моделирования динамических систем. Ввод элементов исследуемых систем в Simulink производится в диалоговом режиме с помощью технологии Drag-and-Drop. В результате формируется так называемая S-модель исследуемой системы. Модель можно сохранить в файле типа .mdl.
Для построения модели Фурье-синтеза сигнала создайте новый файл с помощью команды меню File/New/Model и расположите необходимые блоки в окне модели. Вид модели представлен в Приложении 6. Для создания подобной модели используйте окно Simulinc Library Browser. Из раздела Sources (Источники) библиотеки перенесите в окно модели блок Constant и 5-7 блоков Sin Wave, из раздела Math Operations – блок Sum, из раздела SignalRouting – блок мультиплексора (Mux), из раздела Sinks (Приемники)- два блока Scope (Индикатор).
С помощью двойного щелчка мыши или контекстного меню на блоке Sum откройте окно Block Parameters (Блок параметров) и установите необходимое число входов сумматора. В блоке параметров каждого Sin Wave установите нужные для синтеза сигнала значения амплитуды и угловой частоты (рад/с) каждой гармоники, при необходимости – фазу гармоники.
Соедините блоки между собой с помощью мыши. После создания, настройки и сохранения модели запустите её на исполнение с помощью команды меню Simulation/Start или кнопки Start. С помощью контекстного меню (правая кнопка мыши) на блоке Scope откройте окно Scope и пронаблюдайте результат решения задачи Фурье-синтеза сигнала. В дальнейшем поместите копии модели и окна Scope в отчет по работе. Составьте отчет по лабораторной работе. В отчете должны быть представлены
- титульный лист, название и цель работы, формулировки пунктов работы, команды и .m – файлы,
графики, комментарии, выводы.
Литература
Web – ресурсы
http://tiger. cs. nstu. ru http://users. ece. gatech. edu/~bonnie/book/OnlineDemos/ConvergenceOfFourierSeries/index. htm http://www. /access/helpdesk/help/toolbox/signal/signal. html http://www. jhu. edu/~signals/fourier2/index. html http://users. ece. gatech. edu/~bonnie/book/TUTORIAL/tutorial. htmlКонтрольные вопросы и упражнения.
Запишите ряд Фурье в тригонометрической и комплексной формах, объясните их связь. Объясните физический смысл разложения сигнала в ряд Фурье. Какие сигналы (функции) могут быть разложены в ряд Фурье? Сформулируйте особенности скорости сходимости ряда Фурье для непрерывных функций и функций с разрывами. Какой характер имеет разложение в ряд Фурье для четных функций? Разложите в ряд Фурье периодический с периодом 2T сигнал, который на отрезке [-T, T] задается выражением x(t)=|t|. Постройте амплитудный спектр сигнала для T=5. Какие особенности имеет разложение в ряд Фурье для нечетных Функций? Запишите ряд Фурье периодического с периодом T =2 сигнала, заданного на интервале [-1, 1] выражением
. Что такое эффект Гиббса? Каковы причины его возникновения? Сформулируйте определение и физический смысл амплитудного спектра сигнала. Каков характер амплитудного спектра периодического сигнала? Как изменяются амплитуды гармоник с изменением номера для непрерывного на периоде сигнала и для сигнала с разрывами? Что такое фазовый спектр периодического сигнала? Запишите и объясните физический смысл теоремы Парсеваля для периодических сигналов. Запишите и объясните разложение в ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов. Каково поведение спектра такого сигнала при Т→∞? Как определить коэффициенты ряда Фурье с помощью процедуры fft()? В среде Matlab с помощью функции fft() определите амплитудный спектр изображенного ниже периодического сигнала и постройте его график Приложение 1. Варианты индивидуальных заданий.
1.
Коэффициенты ряда Фурье
, 
2.
Ряд Фурье 
3.
Ряд Фурье 
4.
Ряд Фурье 
5.
Ряд Фурье 
6.
Ряд Фурье 
7.
Ряд Фурье 
8.
Ряд Фурье
9.
Ряд Фурье 
10.
Ряд Фурье
Приложение 2. Пример разложения сигнала в ряд Фурье.
Вид сигнала
Частота основной гармоники 
.
Коэффициенты комплексного ряда Фурье 
Для n = 0 
.
В частности, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
.
Ряд Фурье 
.
График амплитудного спектра сигнала
Приложение 3. М-файл для построения графиков амплитудного и фазового спектров сигнала.
% Файл - сценарий для построения графиков спектров
n1=1:15;
cn=-4*j./n1/pi.*sin(pi*n1/6).*sin(n1*pi/2).*exp(-j*n1*pi/3);
n2=-15:-1;1
c_n=-4*j./n2/pi.*sin(pi*n2/6).*sin(n2*pi/2).*exp(-j*n2*pi/3);
Cn=[c_n 0 cn];
n3=[n2 0 n1];
n=-15:15;
figure(1), subplot(121),stem(n, abs(Cn))
title('|Cn|')
subplot(122),stem(n, angle(Cn))
title('angle(c_n) in rad')
Графики амплитудного и фазового спектров сигнала
Приложение 4. М-файл для вычисления коэффициентов ряда Фурье сигнала с помощью процедуры fft().
T=6;% период сигнала
t=0:T/63:T;% временной интервал
x=2*rectpuls(t-2.5,1)-2*rectpuls(t-5.5,1);% генерирование сигнала
figure(1);
subplot(311), plot(t, x) % график сигнала
title(' График сигнала')
k=0:63;
% коэффициенты ряда Фурье
C=-4*j./k/pi.*sin(pi*k/6).*sin(k*pi/2).*exp(-j*k*pi/3);
% график амплитудного спектра
subplot(312),
stem(2*pi*k/T, abs(C));
title(' Амплитудный спектр сигнала')
y=fft(x,64);% Дискретное преобразование Фурье сигнала
% график ДПФ
subplot(313), stem(2*pi*k/T, abs(y)/64)
xlabel(' Угловая частота, рад/сек')
title(' Амплитудный спектр сигнала по процедуре fft')
Приложение 5. Файл-сценарий приближения сигнала рядом Фурье.
T=6;
w0 = 2*pi/T;
t = -1.5*T:T/1000:1.5*T;
N = input('Number of harmonics ');
c0 = 0;
x = c0*ones(1,length(t)); % постоянная составляющая
for n=1:N,
% коэффициенты Фурье
cn = -4*j/n/pi*sin(pi*n/6)*sin(n*pi/2)*exp(-j*n*pi/3);
c_n = conj(cn);
% Приближение сигнала рядом Фурье
x = x + cn*exp(j*n*w0*t) + c_n*exp(-j*n*w0*t);
end
figure(2), plot(t, x), grid
title(['N = ',num2str(N)])
Графики, число членов ряда N=20
Явление Гиббса (увеличенный масштаб)
Приложение 6. Вид S - модели Фурье-синтеза сигнала
Составил доц. Щетинин Ю. И.
