Принципы и методы управления импульсными процессами в когнитивных картах сложных систем

Проблемы динамики управляемых систем

УДК 62.50

, ,

ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫМИ ПРОЦЕССАМИ В КОГНИТИВНЫХ КАРТАХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. ЧАСТЬ 1

Введение

В качестве средства для моделирования сложных систем разной природы большой размерности используются когнитивные карты (КК), которые представляют собой структурные схемы причинно-следственных связей между компонентами (координатами, факторами) сложной системы. С математической точки зрения КК — это взвешенный ориентированный граф, вершины (узлы) которого отображают координаты сложных систем, а ребра описывают связи между этими координатами [1—5]. Построение КК выполняется экспертами, что позволяет качественно описать взаимосвязи между компонентами сложной системы и количественно отобразить влияние каждой координаты КК на все остальные при помощи весов ребер ориентированного графа.

В процессе функционирования сложной системы с импульсным характером поведения под влиянием различных возмущений координаты КК изменяются во времени. При этом каждая вершина КК принимает значение в дискретные моменты времени . На следующем периоде дискретизации значения определяется величиной и информацией о том, увеличили или уменьшили свои значения другие вершины , смежные с , в момент времени . Изменение координаты вершины в момент времени называется импульсом согласно [2, 5], обозначается через и задается разностью . Импульс , поступивший в одну из вершин , будет распространяться по цепочкам КК на остальные вершины, усиливаясь или затухая. Процесс распространения возмущений по вершинам КК определяется разностным уравнением [2, 5]

                       (1)

где — весовой коэффициент дуги ориентированного графа, которая соединяет -ю вершину с -ой. Если дуга от вершины к вершине отсутствует, то соответствующий коэффициент .

Правило изменения значений координат вершин КК (1) принято формулировать в виде разностного уравнения первого порядка в приращениях переменных [2—5]:

                                       (2)

которое описывает импульсный процесс в КК. При этом

В векторной форме выражение (2) записывается следующим образом:

                                               (3)

где — весовая матрица смежности, а — вектор приращений координат вершин КК при .

Если собственные числа матрицы смежности будут по модулю больше единицы, то импульсный процесс КК (3) будет неустойчивым и его необходимо стабилизировать. С точки зрения теории управления модель (3) описывает динамику многомерной системы в дискретном времени в свободном движении координат вершин КК. Чтобы выполнить стабилизацию неустойчивого импульсного процесса (3), необходимо наличие внешних управляющих воздействий.

Цель работы — выполнить теоретическое обобщение принципов и методов автоматического управления импульсными процессами в КК, отражающих динамику сложных систем разной природы.

Принципы управления импульсными процессами в когнитивных картах сложных систем

Введем аксиоматические определения основных принципов управления для указанного класса систем.

Первый принцип заключается в формировании внешнего вектора управления на основе варьирования координат вершин КК сложной системы. Для этого необходимо сформировать уравнение вынужденного движения при импульсном процессе системы

                               (4)

где — приращение управляющего воздействия. В векторной форме (4) можно записать как

                               (5)

где — вектор приращений координат вершин КК, — вектор приращений управляющих воздействий.

Возможны два варианты получения этого уравнения в зависимости от физической природы исследуемой сложной системы. Первый вариант возможен в том случае, когда существует некоторое подмножество вершин КК, которые не имеют входных ребер (в том числе петель) и которые можно физически варьировать в некоторых пределах. Эти вершины будем называть управляющими и выделим в отдельный вектор управления. Тогда можно разделить матрицу смежности КК на две составляющие, соответствующие управляющим вершинам () и остальным (), в результате чего уравнение (3) переходит в уравнение (5).

Второй вариант получения уравнения (4) можно применять тогда, когда есть реальная возможность введения дополнительных вершин КК, значения которых могут формироваться и устанавливаться в дискретные моменты времени лицом, принимающим решения, путем изменения имеющихся в наличии ресурсов. В общем случае для различных КК сложных систем разной природы это могут быть финансовые, энергетические, интеллектуальные, информационные, экономические, технологические, административные, оборонные, социальные, научные, политические, образовательные, экологические и другие ресурсы, которые можно изменять на каждом периоде дискретизации в качестве внешних управлений, воздействующих на конкретные вершины КК. При этом внешние управления должны иметь одинаковую природу с вершинами, на которые они воздействуют. Матрица управления в (4) содержит обычно единицы и нули, причем диагональные элементы, соответствующие управлениям в векторе , равны единице.

Таким образом, при формировании вектора необходимо выбирать координаты вершин КК, на которые может воздействовать лицо, принимающее решение, путем изменения имеющихся ресурсов. Например, для сложной системы социоэкономического типа, в качестве управляющих воздействий могут выступать:

— финансовые затраты (капиталовложения);

— освоение новых видов продукции;

— повышение уровня научных исследований;

— изменение времени выполнения определенной работы;

— варьирование цен на определенные товары;

— удовлетворение потребностей сотрудников сферы деятельности, которая представлена в форме КК.

Второй принцип заключается в реализации замкнутой системы управления, включающей синтезированный на основе методов теории автоматического управления многомерный дискретный регулятор, формирующий вектор управлений, воздействующих непосредственно на вершины КК как на выходные управляемые координаты сложной системы.

В [6] проведены исследования основных свойств моделей (3). Показано, что если КК будет устойчивой с точки зрения теории когнитивного моделирования, то и соответствующая модель (5) будет асимптотически устойчивой с точки зрения теории управления (если представить ее как модель в пространстве состояний). Также проведено исследование управляемости и показано, что если система управляема, то можно сформировать вектор управления по состоянию, который замыкает систему управления и приводит соответствующую КК в устойчивое статическое состояние.

Третий принцип предполагает использование возможности варьирования весовых коэффициентов в (4) при реализации управляющих воздействий в замкнутой системе управления. Этот принцип необходимо применять в тех случаях, когда нежелательно или невозможно при формировании варьировать координаты вершин КК (ресурсы) согласно первому и второму принципам.

Варьирование весового коэффициента возможно тогда, когда можно изменять степень чувствительности от влияния одной вершины КК на другую. Лицо, принимающее решение, может реализовать этот принцип путем изменения коэффициентов передачи административных, научных, финансовых, политических, образовательных, информационных взаимодействий на координаты сложной системы, представленные вершинами КК. При управлении импульсным процессом КК путем варьирования весовых коэффициентов изменяется степень влияния на координату остальных координат . При этом величина управляющего воздействия формируется не за счет изменения ресурсов , непосредственно воздействующих на вершину , а за счет изменения влияния остальных координат на вершину .

Для реализации всех трех вышеуказанных принципов управления необходимо точно измерять (фиксировать) все координаты вершин КК.

Однако многие вершины КК для различных сложных систем являются трудно формализуемыми, и их невозможно измерить в реальном масштабе времени. К ним можно отнести, например:

— конкурентоспособность продукции;

— уровень развития технологий;

— защищенность границ государства;

— теневые связи политики с бизнесом;

— эффективность ведения информационной пропаганды;

— уровень демократизации страны и др.

Для этого случая предлагается четвертый принцип управления импульсными процессами КК, который заключается в декомпозиции исходной КК на две части. Первая часть КК составляется для измеряемых координат вершин исходной КК, а во вторую часть входят неизмеряемые координаты вершин. Тогда для первой части КК составляется первая модель, которая описывает импульсный процесс измеряемых координат:

                       (5)

где — измеряемые координаты в реальном масштабе времени, а — неизмеряемые координаты вершин исходной КК.

Вторая модель составляется для описания импульсного процесса неизмеряемых вершин КК:

                       (6)

При этом неизмеряемые координаты рассматриваются в качестве возмущений в первой модели, а измеряемые — во второй.

Выражения (5), (6) соответственно можно записать в векторно-матричной форме:

                       (7)

                       (8)

где матрицы имеют размерности соответственно .

В дальнейшем для управления будет использоваться модель импульсного процесса (7).

Пятый принцип заключается в разнотемповой дискретизации координат вершин КК для случая, когда измерение всех координат с одним периодом дискретизации невозможно.

С математической точки зрения в теории разностных уравнений не рассматривалась задача выбора периода дискретизации. При этом переход от дифференциальных к разностным уравнениям [7, 8] производится при унифицированном периоде дискретизации . Однако координаты сложной системы, модель которой задана в виде КК, изменяются со своими скоростями, которые соответствуют инерционностям данных координат. В процессе функционирования сложной системы эти координаты могут измеряться (фиксироваться) в дискретные моменты времени с разными периодами дискретизации. Для определения этих периодов необходимо иметь информацию о возможных скоростях изменения каждой координаты сложной системы. Тогда выбор периода согласно [9] выполняется на основе

,                                                (9)

где — заданная абсолютная погрешность координаты , которая возникает вследствие квантования непрерывной функции . Величина имеет размерность координаты .

Рассмотрим модель импульсного процесса КК сложной системы, которая имеет свойство функционирования в двух масштабах времени. При этом одна часть координат измеряется с периодом , а другая часть координат — с периодом , где — целое число, большее единицы.

Исходная модель (1) импульсного процесса КК может быть представлена с однотемповой дискретизацией координат с периодом в следующем виде:

               (10)

где — целая часть от деления на .

Предположим, что в КК сложной системы размерности существует координат вершин , измеряющихся с периодом дискретизации , а координат можно измерить с увеличенным периодом . Тогда модель импульсного процесса КК должна быть описана с разнотемповой дискретизацией координат следующим образом:

       (11)

       (12)

где , равно приращению медленно-действующей координаты при и равно нулю в остальных случаях, равно суммарному изменению быстродействующих координат , вычисление которого приведено ниже в утверждении 1.

Соотношения (11), (12) можно записать в обобщенной векторно-матричной форме:

         (13)

где матрицы имеют размерности .

Координаты вектора , которые измеряются с периодом дискретизации , будут постоянными на протяжении времени .

Сформулируем следующие утверждения.

Утверждение 1. При вычислении вектора в модели (13) учет составляющей производится согласно формуле

         (14)

Доказательство. Влияние быстродействующих составляющих при в составе вектора можно представить следующей суммой:

После раскрытия разностей будем иметь:

После приведения подобных членов получим доказательство утверждения.

Утверждение 2. Если первые обратные разности в (10) равны

       (15)

         (16)

то переход данных разностей к представлению с большим периодом дискретизации может быть выполнен на основе

                       (17)

                       (18)

Доказательство. Рассмотрим последовательность первых разностей при .

При суммировании правых и левых частей этих равенств и при приведении подобных членов получим

                       (19)

что является доказательством (17).

Аналогично, рассмотрев последовательность первых разностей при при суммировании и приведении подобных членов получим

                         (20)

что является доказательством утверждения (18).

Шестой принцип заключается в адаптивном оценивании весовых коэффициентов матрицы смежности КК (3), которые не могут быть известны точно. Обычно они определяются путем применения экспертных оценок. Кроме того, в процессе функционирования сложной системы, описываемой моделью КК, коэффициенты могут изменяться со временем. Поэтому для управления импульсным процессом КК неизвестные и изменяющиеся коэффициенты матрицы необходимо оценивать в реальном масштабе времени на основе известной структуры КК и измеряемых координат вершин КК. Для этого следует использовать описанную в третьем принципе первую модель КК (5), в которой все координаты вершин измеряются точно. Если на координаты можно воздействовать управлениями , модель импульсного процесса (5) при сдвиге назад на один период дискретизации можно записать так:

               (21)

где — возмущения, которые возникают при воздействии неизмеряемых вершин КК. Следует учесть, что часть коэффициентов заведомо равна нулю в тех случаях, когда между соответствующими вершинами нет связей в структуре КК. Обозначим через вектор ненулевых коэффициентов в (21), а через обозначим вектор измерений соответствующих им координат вершин КК. Тогда (21) можно записать в виде

                       (22)

Обозначим через текущую оценку вектора . Применив рекуррентный метод наименьших квадратов (РМНК), получим алгоритм оценивания коэффициентов матрицы смежности КК:

        (23)

                (24)

                (25)

Рекуррентную процедуру (23)—(25) необходимо производить для каждой вершины КК на каждом периоде дискретизации во время импульсного процесса. Полученные оценки будут использоваться в качестве коэффициентов матрицы в (7) при реализации алгоритма управления на текущем шаге.

Заключение

В работе показано представление динамических режимов в когнитивных картах сложных систем при помощи дискретных моделей в пространстве состояний и моделей типа «вход—выход». Рассмотрены шесть принципов для решения задачи управления динамикой сложных систем на основе моделей импульсных процессов в когнитивных картах. Сформулированные принципы предназначены для последующей стабилизации неустойчивых импульсных процессов в КК, управления соотношениями координат вершин КК и для адаптивного оценивания в режиме online коэффициентов матрицы смежности импульсного процесса КК при однотемповой и разнотемповой дискретизации.

Во второй части работы будет рассмотрена группа методов управления импульсными процессами в когнитивных картах сложных систем.

Литература

Axelrod R. The Structure of Decision: Cognitive Maps of Political Elites. — Princeton University Press, 1976. — 404 p. Roberts F. Discrete Mathematical Models with Applications to Social, Biological, and Environmental Problems. – Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1976. — 559 p. , , . Когнитивный подход в управлении // Проблемы управления. — 2002. — № 3. — С. 2—8. . Структурно-целевой анализ развития социально-экономических ситуаций // Проблемы управления. — 2005. — № 3. — С. 30—38. , , .  Исследование слабоструктурированных проблем социально-экономических систем. Когнитивный подход. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2006. — 332 с. , Обеспечение устойчивости импульсных процессов в когнитивных картах на основе моделей в пространстве состояний // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 1. — С. 26—42. , , . Математические основы теории автоматического управления: Учеб. пособие. В 3 томах. — Т. 2. — М.: Изд-во МГТУ им. , 2008. — 616 с. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 304 с. Методы расчета и адаптации частоты выдачи решений в управляющей ЦВМ // Автоматика и телемеханика. — 1975. — № 7. — С. 143—152.

УДК 62.50. , , . Принципы и методы управления импульсными процесами в когнитивных картах сложных систем. Часть 1.

Предложены шесть принципов для решения задач формирования внешних управляющих воздействий с целью стабилизации неустойчивых импульсных процессов в когнитивных картах (КК), для управления соотношениями координат вершин КК и для адаптивного оценивания коэффициентов матрицы смежности КК. Рассмотрены случаи однотемповой и разнотемповой дискретизации координат.

УДК 62.50. , , Ю. Л. Мілявський. Принципи та методи управління імпульсними процесами в когнітивних картах складних систем. Частина 1.

Запропоновано шість принципів для вирішення задач формування зовнішніх керувань з метою стабілізації нестійких імпульсних процесів у когнітивних картах (КК), для управління співвідношеннями координат вершин КК та для адаптивного оцінювання коефіцієнтів матриці суміжності КК. Розглянуто випадки однотемпової та різнотемпової дискретизації координат.

UDC 62.50. M. Zgurovsky, V. Romanenko, Y. Milyavsky. Principles and Methods of Impulse Processes Control in Cognitive Maps of Complex Systems. Part 1.

Six principles are proposed to solve problems of external controls synthesis to stabilize unstable impulse processes in cognitive maps (CM), to control ratios between CM vertices coordinates and to adaptively estimate coefficients of CM adjacency matrix. Unirate and multirate sampling cases are discussed.