УДК 519.872
АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАБОТЫ ГОРОДСКОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
.
Кафедра автоматизации исследований и технической кибернетики КемГУ,
ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»
*****@***ru
Среди городских транспортных систем можно выделить такие, которые характеризуются необходимостью обязательного и срочного обслуживания поступающих вызовов (заявок): скорая помощь, пожарная служба, служба спасения, такси и т. п. Важной проблемой функционирования таких систем является определение прогнозного количества обслуживающих единиц (машин, бригад) на каждый момент времени. Опишем условия функционирования транспортной системы рассмотренного вида как системы массового обслуживания. Поток заявок, поступающий диспетчеру на их выполнение, удовлетворяет следующим условиям: 1) на бесконечно малом интервале времени поступает не более одного вызова; 2) поступление вызова на каком-либо интервале не зависит от того, сколько вызовов появилось на других интервалах; 3) временные промежутки между последовательными вызовами являются случайными величинами.
При этом среднее число вызовов, поступающих в единицу времени, т. е. интенсивность входящего потока, в общем случае зависит от времени (нестационарный поток). Промежутки времени выполнения заказов являются независимыми случайными величинами. Ставится задача определения (прогнозирования) необходимого в каждый момент времени количества обслуживающих приборов при условии, чтобы ни одна заявка не получила отказ в обслуживании (что предполагает использование неограниченного количества обслуживающих устройств). Эти условия позволяют применить аппарат теории массового обслуживания для анализа таких систем.
Мною был проведен анализ функционирования транспортной системы таксопарка в период с 13 января 2009 по 16 января 2009 год. Целью исследования было определить оптимальное количество машин в зависимости от среднего времени обслуживания клиентов с помощью методов математической статистики.
1. Математическая модель
- число обслуживающих единиц (приборов), занятых в момент t;
- интенсивность числа вызовов в момент t;
- величина, обратная к среднему времени обслуживания. Для рассматриваемой системы время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, т. к. заявки с большим временем обслуживания являются достаточно редкими.
При вышеизложенных условиях процесс 
является марковским процессом. Выпишем систему уравнений Колмогорова для 
- вероятностей того, что в момент 
в системе 
занятых приборов (выполняющих заявки):
(1.1)
при начальных условиях:
.
Система (1.1) представляет собой бесконечную систему дифференциальных уравнений, так как теоретически количество обслуживающих приборов в изучаемой системе должно быть бесконечным, чтобы она могла обслуживать все поступающие заявки без ожидания. Это предположение позволяет применить для решения системы (1.1) метод производящей функции и найти затем средние характеристики функционирования системы. Используя, в частности, среднее число обслуживающих приборов либо его модальное значение в качестве оценки (прогноза) числа приборов, необходимого для функционирования данной системы, получим также ответ на вопрос – сколько всего надо иметь обслуживающих приборов для оптимального функционирования рассматриваемой системы.
Воспользуемся методом производящей функции для решения системы (1.1). Пусть 
- производящая функция, тогда система (1.1) преобразуется к дифференциальному уравнению
(1.2)
с начальным условием 
.
Решая уравнение (1.2), найдем производящую функцию.
(1.4)
Обозначим: 
. (1.5)
Тогда 
.
Используя разложение экспоненты в ряд по степеням z, получим:
где
(1.6)
и есть вероятности состояний рассматриваемой системы обслуживания. Выражение (1.6) представляет собой известный закон распределения вероятностей – закон Пуассона с параметром B(t).
2. Характеристики
Используя свойства производящей функции, найдем математическое ожидание и дисперсию процесса 
. Среднее ожидаемое число занятых приборов в момент t:
. (2.1)
Определив параметры входящего потока и обслуживания (т. е. 
и 
), с помощью выражения (1.4) можно получить прогноз количества приборов, необходимых для обслуживания нестационарного потока заявок в каждый момент времени t, что позволит оперативно управлять системой обслуживания и принимать решения заранее, т. е. подбирать число обслуживающих приборов на любой момент времени t.
Были обработаны опытные данные и получен усредненный поток заявок в будние дни. Затем с помощью математического пакета Maple 10 была получена приближенная функция с приемлемой точностью. Определено среднее время обслуживания клиентов для нахождения минимального количества машин, необходимого для функционирования системы t=1/
.
Таким образом, получены выражения для характеристик системы массового обслуживания, описывающей функционирование транспортной системы. Эти выражения поддаются расчету и позволяют прогнозировать необходимое количество транспортных единиц для каждого момента t в течение рассматриваемого периода времени [0,T].
Литература
еория массового обслуживания: Москва Машиностроение, 1979.Научный руководитель –доцент кафедры АИТК
