Использование нечеткой логики в проблеме парадокса Эллсберга

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ В ПРОБЛЕМЕ ПАРАДОКСА ЭЛЛСБЕРГА

к. т.н, доцент кафедры «Автоматизированные системы управления»

Азербайджанской Государственной Нефтяной Академии

I. Введение.

В повседневной жизни информация играет колоссальную роль. Она способна менять наше мировоззрение, служить мотивом для различных наших поступков. В тоже время информация необходима при принятии нами определенных решений, в том числе стратегически необходимых в экономике и политике. Существуют два вида крайних ситуаций. При первой у нас имеется полная информация обо всех распределениях вероятностей относительно наступления того или иного события. При второй крайней ситуации информация о вероятностях полностью отсутствует. В реальной жизни обе ситуации нереальны. Первая ситуация нереальна в виду того, что  полная информация не исключает хотя бы малую вероятность того, что определенное событие может не произойти. А вторая ситуация идеализированна, так как в реальной жизни всегда существует небольшая «подсказка» о распределении вероятностей.  Таким образом, можно сказать, что неопределенность в том или ином виде всегда существует. Принятие решения в условиях неопределенности означает принятие решения в зависимости от состояния природы, т. е. факторов не зависящих от нас по определенным причинам. Еще в 1921 году Кнайт [1] ввел понятие различия между измеримой неопределенностью, в которой вероятности известны и неизмеримой (т. е. риск предполагался неизмеримым понятием). Риск по Кнайту появляется, когда вероятности существуют для различных исходов, а неопределенность - когда не имеется информации о вероятностях для возможных результатов. Классическая теория Неймана—Моргенштерна [2],  максимизируя ожидаемую полезность, предполагает нейтральное отношение к риску. Теория субъективной ожидаемой полезности Сэвиджа [3], являющаяся дополнением теории  Неймана—Моргенштерна, предполагает субъективное отношение лица принимающего решение (ЛПР) к событиям, когда доступны только субъективные вероятности. Возникновение теории субъективной ожидаемой полезности Сэвиджа расширило возможности теории ожидаемой полезности Неймана—Моргенштерна, т. к. предложило переход от ЛПР рационального к человеку реальному в условиях риска.

В данной статье предложен метод принятия решения в условиях  неопределенности и риска. Теоретические предположения строятся на основе эксперимента Эллсберга, который выбран в качестве эталона для сравнения, и служит для проверки достоверности предложенного подхода. Парадокс Эллсберга противоречит аксиоме ожидаемой полезности, называемой принципом достоверного исхода. Это принцип был предложен Сэвиджем в 1954 году. Согласно этому принципу, если две альтернативы имеют общий исход при различных состояниях природы, то выбор альтернатив не будет зависеть от этого исхода. Данная статья объясняет парадокс Эллсберга и не обладает недостатками классических методов.

В истории теории принятия решений было немало попыток дать теоретическое объяснение парадоксу. Среди них особое место можно выделить работам  [4] и [5]. В этих работах используется множественное вероятностное распределение. В [4] используется модель множественного вероятностного распределения, в которой ЛПР выбирает альтернативу, максимизируя минимум ожидаемой полезности по всем возможным распределениям. Таким образом, интуитивно повышается доверие в полученному решению. В [5] авторы используют иерархическую модель принятия решения, уделяя внимание разделению понятия неопределенности и риска. При этом на нижнем уровне модели также используется множественное вероятностное распределение, ограниченное величиной доверия на верхнем.

В данной работе предлагается метод принятия решения в условиях неопределенности и риска с использованием максиминной ожидаемой полезности и нечеткой логики Лотфи Заде на примере эксперимента Эллсберга. Метод максиминной ожидаемой полезности предполагает выбор наилучшей альтернативы из наихудшего варианта и трактуется как пессимистичный.  Впервые нечеткая вероятность была использована в [6]. В этой статье указывается, что каждый синглтон имеет нечеткую вероятность, являющуюся нечетким числом. Причины использования нечеткой логики понятны. В частности, в [7] сказано, что причиной  использования нечетких вероятностей вместо классических является то что, во многих применениях мы не знаем точно объективные вероятности и, тем более, не способны вычислить единственное распределение субъективных вероятностей. Вместо этого мы знаем только приблизительное количество или лингвистические оценки для наших вероятностей.

Статья имеет следующую структуру. В секции II дана постановка задачи. В секции III приводятся предложенный метод принятия решения в условиях неопределенности и риска на примере парадокса Эллсберга, а также алгоритм метода. В секции IV дается пример использования данного метода. Заключение приводится в секции V.

II. Постановка задачи.

Приведем вначале версию эксперимента Эллсберга. Представим урну, в которой находится 90 шаров. Известно, что урна содержит 30 красных и 60 черных и желтых шаров в неизвестной пропорции. Затем ЛПР предлагают на выбор четыре лотереи (таблица 1). В первой он может выиграть $100, если вытащит  красный шар, вероятность чего составляет 1/3 вероятности. Во второй  выигрыш составляет $100, если ЛПР вытащит черный  шар. Но  веро-

Число шаров	30	60
Лотереи	КРАСНЫЕ	ЧЕРНЫЕ	ЖЕЛТЫЕ
1	$100	$0	$0
2	$0	$100	$0
3	$100	$0	$100
4	$0	$100	$100

Таблица 1. Лотереи в эксперименте Эллсберга

ятность вытащить черный шар неизвестна. В третьей и четвертой лотереи задача несколько усложнена. В третьей лотереи можно выиграть $100, если вытащить красный или желтый шары, а в четвертой - черный или желтый. Эксперимент показал, что большинство людей предпочитают ставку 1 ставке 2 и ставку 4 ставке 3. Таким образом, ЛПР демонстрирует неприятие неопределенности. ЛПР выбирает 2–ю ставку, т. к. согласно теории ожидаемой полезности, думает, что красных шаров больше, чем черных, и выбирает 4-ю ставку, т. к. думает, что красных шаров меньше. Так появляется парадокс, при котором ЛПР одновременно считает, что красных шаров больше и меньше. Причина кроется в предпочтении ЛПР ставок, для которых меньше неопределенности в вероятностях.

Формально эту проблему можно сформулировать следующим образом. В задаче имеет место пространство взаимно исключающих и полных состояний природы : красный шар, черный шар и желтый шар, – множество исходов, , – множество реальных чисел. A-  множество действий h : S X. Проблема заключается в принятии решения на примере парадокса Эллсберга при условии, что количество черных шаров больше, чем желтых (или наоборот).

  III. Решение проблемы

  Как указывалось ранее, для предложенного метода принятия решения в условиях неопределенности и риска используется метод максимина ожидаемой полезности и элементы нечеткой логики. 

Кратко приведем некоторые основные аспекты нечеткой логики, основоположником которой является Лотфи Заде.

Определение 1. Нечеткие множества [8].

Пусть X универсальное множество, элементы которого обозначены через x. Принадлежность элементов в подмножестве A из X часто рассматривается как характеристическая функция из X в {0,1}, т. е.

Множество {0,1} называется множеством оценок.

       Если предположить, что не множество {0,1}, а действительный интервал [0,1] является множеством оценок, тогда A будет нечетким множеством. В таком случае  будет называться функцией принадлежности.

Определение 2. -уровневое нечеткое множество [8].

Обычное множество элементов, чьи значения принадлежности выше, чем некоторый порог , называется -сечением множества :

.

Строгое -сечение определяется как  .

Определение 3. Нечeткое число [8].

Нечеткое число A на действительной прямой - это нечеткий набор, характеризуемый функцией принадлежности  .  Нечеткое число А может быть представлено как  , где  - знак объединения по всем .

Определение 4. Синглтон [8].

Нечеткое множество, носителем которого является одна точка X с , называется синглтоном.

Кратко приведем алгоритм предложенного метода принятия решения.

На первой стадии строятся функции принадлежности для вероятностей шаров. Очевидно, что вероятность выбора красного шара является синглтоном. Функции принадлежности вероятностей черных шаров находим для нечетких чисел трапецеидальной формы.

  2. Находим значения функции принадлежности лингвистической вероятности желтых шаров на основе выражения:

  3.  Имея известные значения функций принадлежности для черных и  желтых шаров, вводим -уровни для этих множеств

Как известно, -уровни нечеткого числа являются интервалами.  Выделяем интервалы для каждого из нечетких множеств.

4. Вычисляем значения функции полезности, применив метод максиминной ожидаемой полезности и решая задачу линейного программирования для каждого -уровня и каждой лотереи :

  с ограничением , , .

Здесь J – состояния природы. i - номер лотереи, -значения  выигрышей.  Оцениваем предпочтения для пар первой и второй, а также третьей и четвертой лотереи. Предложенный анализ решения приводит к определению оптимального действия  , такого что  , где является неаддитивной мерой, на основе парадокса Эллсберга, использованного как эталонная проблема для проверки достоверности предложенного подхода. 

IV. Парадокс Эллсберга.

Как было сказано ранее, в в задаче имеет место множество состояний природы , множество альтернатив , состоящее из альтернатив принятия решения по четырем лотереям, и множество исходов 

Предположим, что визуальное количество черных шаров больше, чем желтых. Учитывая это, можно оценить вероятности красных, черных и желтых шаров, представляя вероятности шаров в виде нечеткого числа треугольной формы, и используя три лингвистических терма «малый»-для желтых шаров, «средний»- для красных и «большой»- для черных шаров (рис.1).

Рис.1. Функции принадлежности для вероятностей

желтых, красных и черных шаров

Очевидно, что вероятность выбора красного шара является синглтоном. Функции принадлежности вероятностей черных шаров находим как:

Базовые переменные являются числовыми вероятностями четких событий и удовлетворяют условию:  .

Значения функции принадлежности лингвистической вероятности желтых шаров определяются на основе выражения:

Имея известные значения функций принадлежности для черных и желтых шаров, вводим -уровни для этих множеств

Так как -уровни нечеткого числа являются интервалами, выделяем следующие интервалы для каждого из нечетких множеств.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Решаем задачу линейного программирования для каждого -уровня и каждой лотереи  и находим значения функций полезности.

Для первой лотереи функция полезности будет неизменной при всех -уровнях. Это происходит по причине известности вероятности красных шаров и нулевых исходов при состояниях природы черного и желтого шаров.

.

Для второй лотереи необходимо вычислить функции полезности при всех значениях -уровней:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Учитывая все значения функции полезности для различных -уровней, получаем нечеткое множество для функции полезности  второй лотереи. При этом число будет степенью принадлежности альтернативы нечеткому множеству решений.

Таким образом, сравнивая функции полезности для первой и второй лотерей, мы получаем . При этом необходимо учитывать, что действительное (ненечеткое) число является частным случаем нечеткого множества. Это вывод позволяет сделать заключение, что красных шаров меньше, чем черных.

Для третьей лотереи значение функции полезности для всех -уровней будет неизменным: .

Для четвертой лотереи эта ситуация повторится:

Таким образом, .

       Продолжая эксперимент и предполагая, что количество черных шаров меньше, чем желтых, можно с легкостью определить, что предпочтения изменятся на противоположные, т. е. ,.

V. Заключение.

       В данной статье был предложен метод принятия решения в условиях неопределенности и риска. При этом использовался известный  парадокс Эллсберга как эталонная задача для проверки достоверности предложенного метода. Экспериментальные данные показали, что предложенный метод принятия решения дает объяснение парадоксу Эллсберга и не обладает недостатками классических методов.  Основным отличием от существующих работ является использование дополнительной информации в виде нечеткого множества вместо огромного количества множественных приоров в распределении вероятностей по состояниям.

       Abstract – A method of decision making under uncertainty and risk with using of the maxmin expected utility and the fuzzy logic by Lotfi Zadeh is suggested. The theoretical propositions are constructed on a base of Ellsberg paradox. It is showed that this method has a number of advantages in comparison with existing classic methods that cannot give an explanation to the paradox.

Аннотация - В данной статье предлагается метод принятия решения в условиях неопределенности и риска с использованием максиминной ожидаемой полезности и нечеткой логики Лотфи Заде. Теоретические предположения строятся на основе эксперимента Эллсберга. Показано, что данный метод имеет ряд преимуществ по сравнению с существующими классическими методами, не способными дать объяснение парадоксу.

       Xьlasə - Bu məqalədə qeyri-mьəyyənlik və risk юəraitində maksmin gцzlənilmə faydallэрэ və qeyri-səlis məntiqdən istifadə etməklə qərar qəbuletmə ьsulu təklif olunmuєdur. Nəzəri fərziyyələr Ellsberq eksperimenti əsasэnda qurulublar. Qцstərilib ki, bu ьsul paradoksu izah etmək qabiliyyəti olmayan mцvcud klassik ьsullarla mьqayisədə bir sэra ьstьnlьklərə malildэr.

       Ключевые слова – неопределенность, риск, парадокс Эллсберга, функция полезности, максиминная ожидамая полезность, нечеткая логика.

Литература

Knight, F. H. Risk, Uncertainty, and Profit. Published: Boston, MA: Hart, Schaffner & Marx; Houghton Mifflin Company, 1921. Neumann, John von, and Morgenstern, Oskar, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1944, second ed. 1947, third ed. 1953. Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. New York, NY: Wiley Itzhak Gilboa. Probability and uncertainty in economic modeling. Journal of Economic Perspectives – Vol.22, 3, summer 2008, p. 173-188.

  5. Peter Klibanoff, Massimo Marinacci, Sujoy Mukerji. A Smooth Model of Decision Making under Ambiguity. Econometrica. 73, 6, November 2005, 1849–1892.

  6. Buckley J. J.: Fuzzy Probabilities: New Approach and Applications, Physica - Verlag, Heidelberg, Germany, 2003.

  7. Sven-Hendrik Lossi. Decision Making with Imprecise and Fuzzy Probabilities - a Comparison. ISIPTA '05, Proceedings of the Fourth International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA, 2005, July 20-23.

  8. , Теория интеллектуальных систем. Баку: Чашыоглы, 2001.- 720 с.

  B