Лекция 8
Релятивистская динамика
Релятивистская кинетическая энергия. Релятивистская энергия. Энергия покоя. Связь энергии и импульса для релятивистских частиц. Формулы преобразования импульса и энергии. Динамика релятивистской системы. Фотон. Эффект Доплера в оптике.
Релятивистская энергия.
Теорема о кинетической энергии, которую мы доказали в ньютоновской механике, верна также и для релятивистской частицы. Необходимо только видоизменить формулу кинетической энергии частицы
, (8.1)
и получить релятивистское выражение для кинетической энергии. Воспользуемся с этой целью формулой релятивистской массы
. (8.2)
Подставляя сюда 
и возводя в квадрат, получим
. (8.3)
Дифференцируя это выражение, учитывая, что масса покоя m величина постоянная, будем иметь
.
Учитывая в левой части соотношение 
, получим
(8.4)
С другой стороны, формулу работы можно преобразовать следующим образом:
, (8.5)
где мы воспользовались основным уравнением релятивистской динамики
(8.6)
и соотношениями 
Формула (8.5), полученная для механической работы, верна как в классической, так и в релятивистской механике. Для ее расчета необходима связь между скоростью и импульсом частицы. В релятивистской механике, учитывая формулу (8.4) в подынтегральном выражении (8.5), будем иметь
. (8.7)
Здесь 
и 
- значения массы частицы в начальном и конечном состояниях.
Значит, в релятивистской механике работа, совершенная силой, определяется только приращением релятивистской массы частицы и только ею. Если движение частицы начиналось из состояния покоя, то 
и, обозначив конечную скорость через 
, для работы (8.7) будем иметь
. (8.8)
Здесь выражен тот факт, что, согласно теореме о кинетической энергии, эта работа идет на увеличение кинетической энергии частицы. Учитывая в (8.8) нормировку кинетической энергии: в состоянии покоя 
, получим
. (8.9)
Это и есть формула релятивистской кинетической энергии. В случае малых скоростей, разложив выражение знаменателя формулы (8.9) в ряд по степеням малой величины 
:
и пренебрегая членами порядка выше 
, из (8.9) получим ньютоновское выражение кинетической энергии (8.1).
Введем обозначение
, (8.10)
и назовем эту величину полной или релятивистской энергией частицы. Тогда из формулы (8.9) будем иметь
, (8.11)
где величина
(8.12)
является релятивистской энергией частицы в состоянии покоя и называется энергией покоя. Графики, приведенные на рис. 8.1, выражают зависимости ньютоновской и релятивистской кинетических энергий от скорости. Как и для других классических и релятивистских величин, здесь также разница между ними становится существенной при скоростях близких к скорости света. Причем, все релятивистские величины превышают по значению соответствующие ньютоновские величины.
Рис. 8.1
Поскольку релятивистская и кинетическая энергии отличаются друг от друга на постоянную величину (энергию покоя), то теорема о кинетической энергии верна также для релятивистской энергии:
. (8.13)
