Условие

452960, с. Бураево ул. ,Гимназия№2 с. Бураево Закирова Альбина

Условие

Плавающая на поверхности воды прямоугольная льдина, продольные размеры которой много больше её толщины, выдерживает груз массой М, помещённый в центре. Какой груз можно разместить на краю льдины (в середине её ребра), чтобы он не коснулся воды? Плотность льда считайте равной 0.9 г/см3, плотность воды — 1,0 г/см3.

Решение

Груз массой М, помещённый в центр льдины, заставляет её почти полностью погрузиться в воду, и при этом смещение центра масс льдины в вертикальном направлении составляет, очевидно, одну десятую часть её толщины H. Груз массой m, если его поместить в центр льдины, заставит её погрузиться на Дельта h1 = m/M * H/10 . Если теперь переместить этот груз на середину ребра прямоугольной льдины, имеющего длину l, то смещение её центра масс по отношению к уровню воды практически не изменится и останется равным Дельта h1, а сама льдина наклонится от горизонтального положения на некоторый угол a. Сумма сил и сумма моментов сил, действующих на льдину, в положении равновесия равны нулю, а её край с грузом  находится на уровне воды. Обозначим длину ребра льдины, соседнего с ребром, на котором лежит груз, через  L. Поскольку по условию H<<L, а края льдины не погрузились под воду, то угол наклона льдины мал:a<<1 . При таком наклоне суммарная сила, действующая на льдину со стороны воды, практически не изменяется, но на льдину со стороны воды начинает действовать момент выталкивающих сил, поскольку с одной стороны от центра масс нижняя поверхность льдины дополнительно погружается в воду, а с другой — поднимается. Для вычисления этого момента относительно центра льдины масс необходимо просуммировать моменты сил, действующих на полоски нижней (подводной) части льдины, расположенные на расстояниях-L/2<=x<=L/2  от центра масс. На полоску шириной Дельта x и длиной l, погрузившуюся дополнительно на глубину ax, действует дополнительная выталкивающая сила  pgxal^2дельта x, так что её момент равен  , а искомый суммарный момент выталкивающих сил равен pgxalL^3/12 . Здесь p — это плотность воды.

Этот момент выталкивающих сил, действующий на льдину со стороны воды, уравновешивает момент силы относительно центра масс льдины, действующий на неё со стороны груза массой  и равный, очевидно,  mgL/2. Таким образом, в положении равновесия должно выполняться соотношение:pgxaL/12 = mgL/2  . Отсюда находим связь между m, a  и величиной  дельта h2 дополнительного опускания края льдины за счёт её наклона: дельта h2=aL/2 = 3m(plL) .

Вместе с опусканием центра масс по вертикали на величину  дельта h1 общее вертикальное смещение края льдины с лежащим на нём грузом не должно быть больше, чем H/10. Запишем это условие в виде неравенства:

Дельта h1 + Дельта h2 = mH/10М +3m/plL<H/10

Учтём, что M=pSlH/10. Отсюда найдём, что на краю льдины в середине её ребра можно разместить груз массой m<M/4

Заметим, что такой груз можно положить на середину любого из верхних рёбер льдины, так как их длины l и L входят в полученное неравенство в виде произведения. 

Ответ: m<M/4