Расчет экзотических опционов на неполном рынке с дискретным временем и конечным горизонтом
Доклад посвящен задаче расчета экзотических опционов на неполных рынках без «трения» с дискретным временем и конечным горизонтом.
Под экзотическим опционом в докладе понимается опцион, момент исполнения которого зависит от наступления некоторого случайного события, такого как достижение ценой рискового актива заданного уровня (например, бинарные и барьерные опционы) [1]. В доступной нам литературе проблема расчета экзотических опционов этого вида отдельно не рассматривалась. Наиболее важные результаты получены для стандартных европейских опционов с неслучайной датой погашения [2-3]. Для них установлены условия существования суперхеджирующего портфеля, основанные на опциональном разложении. Легко показать, что этот результат может быть распространен и на экзотические опционы. Однако, следует отметить, что результаты [2-3] не дают конструктивного описания опционального разложения и, соответственно, суперхеджирующего портфеля.
Известные нам примеры расчета экзотических опционов получены для случаев полных рынков [1-2].
В докладе для расчета экзотического опциона на неполном рынке впервые применен минимаксный подход. Рассматривается неполный рынок, состоящий из одного безрискового и конечного числа рисковых активов, эволюция цен которых описывается произвольной согласованной случайной последовательностью. Предполагается, что участникам рынка распределение цен рисковых активов не известно. Продавец экзотического опциона на полученную от продажи опциона премию формирует самофинансируемый портфель активов. Функция риска продавца экспоненциальная и зависит от полученной им премии, а также разности между капиталом портфеля продавца и стоимостью его обязательств по опциону в момент исполнения опциона (дефицит капитала портфеля продавца). Также предполагается, что продавец разумен в следующем смысле. Он исходит из того, что распределение цен рисковых активов окажется «наихудшим» для него в смысле максимизации значения его ожидаемого риска. В этой ситуации продавец формирует портфель таким образом, чтобы свести значение своего ожидаемого риска к минимуму (оптимальный портфель продавца). Таким образом, возникает минимаксная задача стохастической оптимизации.
Для этой задачи в докладе приведены условия существования ее решения. В частности, показано, что на неполном рынке всегда существует оптимальный портфель продавца экзотического опциона. Этот результат позволил дать конструктивное описание опционального разложения для произвольной ограниченной платежной функции экзотического опциона. Кроме того, в докладе установлены условия существования «наихудшей» вероятностной меры, а также ее свойства, такие как мартингальность, единственность, дискретность. Отсюда, в частности, следует, что относительно «наихудшей» меры исходный неполный рынок может быть отождествлен с полным.
Далее, в докладе показано, что самофинансируемый портфель с потреблением, соответствующий оптимальному портфелю продавца экзотического опциона, является совершенным суперхеджирующим относительно любой эквивалентной меры, а капитал такого портфеля не превосходит капитал любого другого суперхеджирующего портфеля. Таким образом, несмотря на то, что решение было построено для экспоненциальной функции риска, его невозможно улучшить, выбирая другие функции риска.
В совокупности изложенные результаты позволили сформулировать алгоритм построения решения задачи расчета экзотического опциона на неполном рынке. На основе этого алгоритма в заключительной части доклада впервые построены примеры явного расчета бинарного и барьерного опционов [1], а также европейской версии «русского» опциона [3] на неполном рынке, на котором эволюция цены единственного рискового актива описывается конечномерной марковской цепью.
Литература
Hull J. C. Options, Futures And Other Derivatives. USA: Pearson Prentice Hall, 2009. ведение в стохастические финансы. Дискретное время/ Пер. с англ. – М.: МЦНМО, 2008. Основы стохастической финансовой математики (теория). Том 2. Теория. М.: Фазис, 1998.