Лекция 4. Производная функции. Основные понятия

ЛЕКЦИЯ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

4.1  Понятие производной функции

Пусть функция определена на интервале .

Рисунок 18

Возьмем любую точку . Дадим аргументу в точке приращение (рис.18), тогда функция получит приращение

.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (если этот предел существует).

Производная функции в точке обозначается символом:

,  ,  ,  .

Итак, по определению:

.

Функция называется дифференцируемой на интервале , если она имеет производную в каждой точке этого интервала.

Нахождение производной функции называется дифференци-рованием этой функции.

4.2  Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции (рис.19).

Рисунок 19

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной через точку , где , т. е.

  или  .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

.

Прямая , проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется  нормалью  к графику функции в этой точке.

Уравнение нормали имеет вид

.

4.3  Механический смысл  производной

Пусть известен закон движения материальной точки по прямой линии в виде , где - пройденный путь, - время.

Тогда  мгновенная скорость этой точки в момент времени есть производная от пути по времени при , т. е.

  или  .

Действительно, за время точка пройдет путь, равный , а в момент времени   путь, равный (рис.20).

Рисунок 20

Тогда  средняя скорость  точки за промежуток будет

,

а мгновенная скорость в момент    имеет вид

.

Замечание. Если функция описывает некоторый физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса (физический смысл производной).

4.4  Понятие дифференцируемости функции

Функция называется  дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде

,

где - некоторое число, не зависящее от , а - бесконечно малая функция при .

Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифферен-цируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Отметим, что , тогда условие дифференцируемости функции можно записать в виде

.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке , то она и непрерывна в этой точке (Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции).

Пусть функция дифференцируема в точке , следовательно

, где при .

Переходя к пределу при , получим

.

Следовательно, функция непрерывна в точке .

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой.

Пример 4.1. Функция непрерывна при , но не имеет производной в этой точке, т. к. в этой точке

,

следовательно, не существует, значит функция не дифференцируема в точке .

Касательная к графику функции   в точке не существует (рис.21).

Рисунок 21

4.5  Правила дифференцирования суммы, разности,

произведения и частного функций

Теорема. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в этой точке дифференцируемы сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ), причем имеют место формулы:

, , , 

Следствия:

,  ,  ,  , где функция дифференцируема в точке .

Докажем формулу .

Пусть , тогда

.

4.6  Производная сложной и обратной функций

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле

.

Теорема 2. Если функция строго монотонна на интервале и , то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

  или  .

4.7  Таблица производных

В следующей таблице приводятся производные основных элементарных функций.

1) ,  ()	5)
2)	6)
3)   (- любое число)	7)   ()
4)	8)   ()
9) ()	16)
10)	17)
11)	18)
12)(,)	19)
13)   (,)	20)
14)   ()	21)
15)   ()

Покажем вывод формулы производной функции .

.

,

т. е.  .