Лекция 13.  Топографическая диаграмма. Мощности в цепях синусоидального тока.

Цель лекции: усвоить построение топографической диаграммы, изучить виды мощностей в цепях синусоидального тока.

13.1 Топографическая диаграмма

Топографическая диа­грамма представляет собой векторную диаграмму, на которой отложены комплексные потенциалы отдельных точек заданной цепи по отношению к одной точке, потен­циал которой принят за нуль. Таким образом, порядок расположения векторов падения напряжения на диаграм­ме строго соответствует порядку расположения элемен­тов цепи на схеме. Конец вектора напряжения на каждом последующем элементе примыкает к началу вектора на­пряжения предыдущего элемента. При таком построении векторной диаграммы напряжений каждой точке элект­рической цепи соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Топографическая диаграмма позволяет весьма просто находить напряжения между любыми точками цепи: дей­ствующее значение и фаза искомого напряжения опре­деляются прямой, соединяющей соответствующие точки потенциальной диаграммы.

На рисунке 13.1 изображена схема неразветвленной элек­трической цепи и для нее построена топографическая диаг­рамма напряжений. Направления векторов напряжений на топографической диаграмме увязаны с произвольно вы­бранным направлением вектора тока .

Рисунок 13.1

Обход схемы ведется навстречу положительному на­правлению тока . В соответствии с порядком располо­жения в схеме элементов на диаграмме изо­бражены векторы напряжений

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

 

Начала и концы векторов (рисунок 13.1,б) пронумерова­ны в соответствии с нумерацией точек, принятой на схе­ме (рисунок 13.1, а).

Напряжение между какими-либо двумя точками схе­мы, например, на участке 2—4 схемы, взятое в положи­тельном направлении тока , определяется по топографической диаграмме вектором  , соединяющим точки 2 и 4 диаграммы и направленным на диаграмме от точки 4 к точке 2. Это соответствует известному правилу вычита­ния векторов, согласно которому какой-либо вектор , представляющий собой разность напряжений (или потен­циалов) , направлен от конца вектора   к кон­цу вектора . Итак, вектор напряжения на диаграмме направлен к точке высшего (уменьшаемого) потенциала, а то же напряжение на схеме указывается стрелкой, направленной от высшего потенциала к низшему. Если при построении топографической диаграммы обход схемы совершался бы в положительном направлении тока  , то изменилась бы нумерация начала и конца каждого вектора напряжения на топографической диаграмме, что противоречило бы принятому правилу расстановки индексов при вычитании векторов.

13.2 Активная мощность в цепях синусоидального тока.

Мгновенная мощность  в электрических цепях имеет вид :                 .  (13.1)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим

           (13.2)

Рисунок 13.2

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место ( рисунок 13.2), когда u и i разных знаков, т. е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсник источнику питания. Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью: 

  .  (13.3)

Принимая во внимание, что  , из (11.3) получим

                 (13.4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому, т. е. на входе пассивного двухполюсника . 

  13.3 Реактивная мощность в цепях синусоидального тока. 

  Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим  значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью. В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

               .  (13.5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка-) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка-). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр). В частности, для катушки индуктивности имеем

        ,  (13.6)

        .  (13.7)

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора

        .  (13.8)

  13.4 Полная мощность  в цепях синусоидального тока.  Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности        

  .  (13.9)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:  .                                 (13.10)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,                .  (13.11)

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности

        ,    (13.12)

где - комплекс, сопряженный с комплексом .

.

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (рисунок 13.3). Рисунок 13.3 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которой имеем:

Рисунок 13.3

Лекция 14. Баланс мощностей. Комплексные входные и передаточные характеристики цепи.

  Цель лекции: усвоить  составление  баланса мощностей в цепях синусоидального тока. Исследовать входные и передаточные характеристики простейших цепей.

  14.1 Баланс мощностей в цепях синусоидального тока. 

  Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.  Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т. е.

               .  (14.1)

  Баланс соблюдается и для реактивных мощностей

                ,  (14.2)

где знак “+” относится к индуктивным элементам ,  “-” – к емкостным . Умножив (14.1) на “j” и сложив полученный результат с (14.2), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока для комплексных мощностей

               ,  (14.3)

или                   (14.4)

  14.2 Входные характеристики

Под входной характеристикой понимают зависимость

, которая в свою очередь состоит из двух характеристик

АЧХ - и ФЧХ - .

Рассмотрим входные характеристики простейших цепей (рисунок 14.2) и (рисунок 14.3). Граничная частота - это частота, при которой модуль реактивного сопротивления равен активному.

Для цепи тогда или .

Для цепи ,тогда или .

  Рисунок 14.1

       

  (14.5) 

  (14.6) 

       

На основании (14.5 и 14.6) построим соответственно (рисунок 14.2) и (рисунок 14.3) для цепи .

 

  Рисунок 14.2                 Рисунок 14.3  Рисунок 14.4

 

    (14.7) 

  (14.8) 

               

На основании (14.7 и 14.8) построим соответственно (рисунок 14.5) и (рисунок 14.6) для цепи .

  Рисунок 14.5  Рисунок 14.6

  14.3 Передаточная функция по напряжению

Комплексным коэффициентом передачи по напряжению называется отношение ,  где - выходное, - входное напряжение.

Совокупность коэффициентов передачи на различных частотах называется комплексной передаточной функцией и  обозначается

или

где H - АЧХ  передаточной функции;

- ФЧХ  передаточной функции.

Рассмотрим передаточные функции по напряжению на примере простейших цепей (рисунок 14.7) и (рисунок 14.10).

                                               Рисунок 14.7

                                       (14.9)
                  (14.10)

  По выражениям (14.9) и (14.10) построены соответственно АЧХ

передаточной функции (рис.14.8) и ФЧХ (рис.14.9) этой же функции.

Рисунок 14.8                Рисунок 14.9

                       Рисунок 14.10

    (14.11) 

    (14.12) 

  По выражениям (14.11) и (14.12) построены соответственно АЧХ (рис.14.11) и ФЧХ (рис. 14.12) этой же функции для цепи .

Рисунок 14.11                 Рисунок 14.12