МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ФИЛЬТРАЦИИ
Казанский федеральный университет, кафедра информатики и вычислительных технологий, *****@***ru
В работе реализован метод возмущений в плоских задачах фильтрации
Ключевые слова: задачи фильтрации, метод возмущений, свободные границы.
Введение
Во многих задачах математической физики неточность исходной информации приводит к необходимости исследовать изменение решения при вариации исходных данных. Для получения количественных оценок можно непосредственно строить разность двух решений. Однако, в большинстве случаев в силу нелинейности рассматриваемых краевых задач это сделать затруднительно. Другой подход связан с использованием методов теории возмущения [1], позволяющих поставить краевую задачу для вариации решения в известной области. Применение этих методов дает возможность перейти от сложных краевых задач со свободными границами для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных к решению линейных задач в областях с известными границами.
Таким образом, указанный подход дает возможность:
1. получать решение сложной задачи, рассматривая ее как возмущение более простой. Тем самым расширяется класс решаемых задач.
2. количественно исследовать вопрос об изменении решения при вариации исходных данных.
3. изучать вопрос о чувствительности решения к вариациям исходных данных того или иного вида.
Опишем класс рассматриваемых ниже нелинейных задач теории фильтрации. Нелинейность в них связана как с законом фильтрации (физическая нелинейность), так и с наличием свободных границ (геометрическая нелинейность).
Закон фильтрации
Рассмотрим модифицированный «разрывной» закон фильтрации [2,3,4] в трубке тока (рис.1):
(1)
Здесь 
- скорость фильтрации, 
- давление, 
, 
- постоянные коэффициент фильтрации и начальный градиент, 
- относительная мощность промытой части пласта.
Рис. 1. Закон фильтрации
Значение закона (1) заключается, во-первых, в том, что он может рассматриваться как простейшая аппроксимация отчетливо выраженного 
- образного закона фильтрации. Во вторых, закон фильтрации (1) «точно отвечает обтеканию предельно-равновесных «целиков» вязко-пластической жидкости фильтрационным потоком, следующим закону Дарси» [2], что позволяет использовать его при оценке потерь вязко-пластической нефти на конечной стадии вытеснения ее водой.
Задача о течении к скважине, расположенной внутри кругового контура питания.
В данной работе методы возмущения используются в исследовании фильтрационных течений с проявлением начального градиента для задачи течения к скважине, расположенной внутри кругового контура питания.
В соответствии с законом (1) в зависимости от величины градиента давления вся область течения на физической плоскости распадается на три подобласти. Так, в случае однородного пласта с проницаемостью 
и предельным градиентом 
формируются следующие три области течения (рис.2):
- область 
– полностью промытого пласта.
- область 
– частично промываемого пласта, где 
.,
- область 
, в которой "целик нефти" занимает всю мощность пласта и движение воды отсутствует.
Рис. 2. Три области течения
Сформулированы постановки трех задач возмущения такого течения для трех типов вариаций:
1. при задании малых возмущений параметров K и G,
2. при задании возмущения контура питания,
3. при задании возмущения «контура скважины».
Возмущения параметров K и G (возмущение слабой неоднородностью)
приводят к возмущению давления 
и скорости, а также к сдвигу свободной границы: 
.
Тогда для возмущения 
имеем задачу Дирихле для уравнения Пуассона в кольце 
(при 
(2)
При возмущении контура питания 
для возмущения 
имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце 
:
(3)
При возмущении контура скважины 
для возмущения 
имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце 
:
(4)
Выводы
Получены общие и частные аналитические решения [5] задач (2), (3) и (4). Построены графики возмущений. Анализ результатов для конкретных значений параметров показал хорошее совпадение с известными аналитическими решениями [4].
Литература
1. ведение в методы возмущений. М., Мир, 1984, 535с.
2. , , Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., Недра, 1984, 207с.
3. , , К расчету целиков остаточной вязкопластической нефти. ПММ, 1980, т.44, вып.5, с.847-856.
4. , , Панько СВ. О форме целика остаточной вязкопластической нефти при разработке круговой залежи. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 4, с.86-93.
5. равнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ.–М. Мир, 1985.–384с.
PERTURBATION METHOD IN 2-D FILTERING PROBLEMS
ShirokovaO. A.
Institute of computational mathematics and IT of K(P)FU (KSU), *****@***ru
The perturbation method is realized in 2-d filtering problems.
Кеу words: filtering tasks, perturbation method, free boundary.
