Проверка статистических гипотез о характере потока отказов сложных технических систем

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ХАРАКТЕРЕ

ПОТОКА ОТКАЗОВ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

, ,

, ,

ГОУВПО "Обнинский государственный технический университет

атомной энергетики"

Место для фотографии Фотография должна иметь размер 4,5х5,5 см

Проект был направлен на разработку и применение новых информационных технологий для решения фундаментальной проблемы анализа надежности и безопасности сложных систем, в частности объектов ядерной энергетики. Основные задачи проекта были связаны с проведением комплексных теоретических исследований методов проверки сопутствующих статистических гипотез с целью создания совокупности критериев проверки гипотез о характере потока отказов. Имеющиеся методы обработки такого рода данных устарели. А для некоторых гипотез вообще не существуют. Наряду с проверкой отсутствия тренда в потоке отказов (случайности) разработаны критерий постоянства приращений числа отказов и критерий пуассоновости. Построен комплекс критериев проверки гипотез об однородности потока отказов по полным и группированным данным. The project was devoted to the development and application of new information technologies to solve the fundamental problem of reliability analysis and safety of complex systems, such as nuclear facilities. The main problems of the project were concerned with integrated theoretical studies of statistical hypothesis testing methods in order to develop a set of criteria for hypothesis testing on the failure flow nature. Existing methods for processing such data are obsoleted.  And there are no methods for testing of some hypotheses. Criterion of permanency failure number increase and criterion of Poisson failure number increase are developed in addition to criterion of randomness failure number increase (or criterion of trend absence in the failure flow).  A set of criteria for hypothesis testing on homogeneity of failure flow for complete data and grouped data is developed.

руководитель проекта (грант № 11-01-97522), д. т. н., профессор, декан факультета «Кибернетики» ИАТЭ НИЯУ МИФИ

Метод расчета показателей надежности для восстанавливаемого объекта зависит от стадии его эксплуатации, а также от вида статистической информации об отказах данного объекта.

Рассмотрим, почему в зависимости от стадии эксплуатации изменяются способы расчета показателей надежности оборудования. Например, параметр потока отказов (ППО) является приблизительно постоянной величиной в период нормальной эксплуатации. Однако на этапах приработки и старения данный показатель надежности убывает и возрастает (могут иметь место и более сложные зависимости) со временем соответственно. Наличие у ППО зависимостей, отличных от константы, можно объяснить присутствием в потоке событий неоднородностей: областей-«разрежений» и областей-«сгустков» отказов. Следовательно, наработки между двумя последовательно произошедшими отказами не являются одинаково распределенными случайными величинами, а поток отказов не рекуррентен [3]. В этом случае, применять классические способы расчета показателей надежности непосредственно к данным некорректно. Необходимо принять во внимание неоднородность потока событий. Например, в работе [18] представлено уравнение для расчета коэффициента готовности, описывающее процесс эксплуатации оборудования с постепенной деградацией. Неоднородность потока событий определяется изменением функции распределения наработки между отказами или времени восстановления. Однако полученное интегральное уравнение «с опережающим аргументом» не имеет решения. В работе [8] было впервые введено понятие «неоднородность потока событий» и предложен способ ее учета при расчете показателей надежности с помощью нормализующей функции потока (НФП).

Таким образом, для выбора метода расчета показателей надежности необходимо определить, является ли поток событий неоднородным. Для этого следует проверить гипотезу о рекуррентности потока отказов с заданным уровнем значимости. В случае принятия гипотезы, расчет показателей надежности оборудования осуществляется традиционными методами, представленными, например, в [2]. При ее отклонении необходимо учесть неоднородность потока события. Например, использовать модель НФП.

В табл. 1 приведены некоторые возможные варианты представления статистической информации об отказах восстанавливаемого объекта за Т лет наблюдения в предположении, что восстановления происходят мгновенно.

Таблица 1.  Представление статистической информации об отказах

№	Способ представления	Обозначение	Тип информации
1	Последовательность времен наработок до отказа		Не группированная (от одного восстанавливаемого объекта)
2	Поток отказов (последовательность моментов отказов)
3	Поток отказов		Группированная (от m восстанавливаемых объектов)
4	Количество отказов, распределенных по годам эксплуатации

Необходимо отметить следующее. Для не группированной информации способ 1 можно привести к представлению 2. В способе 3 величина не является наработкой восстанавливаемого объекта между i-тым и (i-1)-ым отказами. На практике наиболее распространенным является способ 4, когда известно число отказов m единиц оборудования за каждый год эксплуатации. Информация об отказах оборудования фиксируется в специальном журнале. В данном случае отмечается время обнаружения отказа и причина, по которой он произошел. При этом выяснить, какой именно элемент из совокупности отказал, когда тот или иной элемент установлен в систему, сколько времени он находился на хранении, каков характер и длительность ремонта не всегда возможно.

В [7] приведена методика статистического анализа группированных данных об отказах, распределенных по годам эксплуатации, и представлена на рис. 1. Выделенные элементы отображают задачи, рассматриваемые в статье. Суть методики в следующем.

Прежде всего, осуществляется проверка гипотезы о простейшем потоке отказов. Для этого был предложен обобщенный критерий, описанный в [8]. В табл. 2 представлен состав критерия.

Рис. 1.  Методика статистического анализа данных об отказах

Таблица 2. Обобщенный критерий проверки гипотезы о простейшем потоке отказов

№	Критерий проверки гипотезы	Основан на статистике
1	О пуассоновском приращении числа отказов
2	О постоянстве приращения числа отказов
3	О случайности приращения числа отказов	Кендалла с поправками П. Сена на связи

Из [4] и [5] известно, что при проверке нескольких гипотез на одном и том же наборе данных, общий уровень значимости увеличивается. Причем, чем больше число применяемых критериев, тем выше становится . Таким образом, возрастает вероятность совершить ошибку первого рода, т. е. вероятность принять ложный факт о неоднородности потока отказов. На практике, чтобы получить требуемый уровень , понижают уровни значимости всех применяемых критериев. В [8] исследование уровня значимости обобщенного критерия не проводилось.

Обобщенный критерий, предложенный в [8], позволяет проверить нулевую гипотезу о простейшем потоке отказов. Вначале рассмотрим некоторые основные понятия.

Функционирование восстанавливаемого объекта представим следующей схемой. В начальный момент времени объект начинает работу и работает до отказа случайное время . После отказа происходит «мгновенное» (за пренебрежимо малое время) восстановление работоспособности и объект снова работает до отказа случайное время и т. д. (см. рис. 2).

Поток отказов (восстановлений) представляет собой совокупность моментов отказов. Момент k-ого отказа (восстановления) определяется как

,                                        (1)

где – i-тая наработка, n – число событий типа «отказ» в потоке.

Если случайные величины неотрицательны, взаимно независимы и одинаково распределены, то поток отказов называется рекуррентным [3].

Рис.2.  Процесс функционирования восстанавливаемого объекта

Cчитающий процесс отказов рекуррентного потока отказов определяется в [2] как число отказов к моменту времени: , причем, . Если поток отказов является пуассоновским с постоянной интенсивностью отказов , то при любом будет иметь распределение Пуассона с параметром . Приращение , будет иметь распределение Пуассона с параметром [8].

На практике имеют дело со статистической информацией от некоторой совокупности m однотипных объектов. Например, на рис. 3 представлен суммарный поток отказов сформированным наложением идентичных по распределению потоков отказов элементов, образующих эту совокупность.

Рис.3. Суммарный поток отказов совокупности m однотипных объектов

Если распределение наработки является экспоненциальным, т. е. , то ВФП отказов совокупности m объектов будет иметь линейно возрастающую функцию восстановления

,

где – интенсивность отказов суммарного потока отказов некоторой совокупности m однотипных элементов. В дальнейшем будем говорить о суммарном потоке отказов.

Число отказов к моменту времени имеет пуассоновское распределение:

.                                (2)

Приращение (к кумулятивному числу отказов) числа отказов за один год эксплуатации также имеет пуассоновское распределение:

, .                (3)

Представим, что у исследователя имеется информация о числе отказов за i-тый год эксплуатации, от совокупности m однотипных объектов. Необходимо проверить нулевую гипотезу о простейшем потоке отказов.

Как было показано выше, для простейшего потока событий приращение числа отказов за один год эксплуатации имеет пуассоновское распределение с неизвестной постоянной интенсивностью . Однако наряду с проверкой принадлежности данных пуассоновскому закону необходима проверка их случайности [8]. Можно привести массу примеров, когда выборка частот отказов наилучшим образом описывается пуассоновским законом, но, при этом, принятие за основу такой гипотезы будет ошибочно. Например, пусть исходные частоты отказов в порядке их появления по годам представляют собой массив: 0,…,0,1,…,1,2,…,2,…. Относительные частоты 0, 1 и 2 хорошо описываются пуассоновским законом, однако налицо наличие линейного тренда в исходной информации. Обобщенный критерий трех критериев, проверяющих гипотезы:

1 О пуассоновском распределении приращений числа отказов (или о пуассоновском приращении числа отказов);

2 О постоянстве приращений числа отказов;

3 О случайности приращений числа отказов.

Решающее правило критерия формулируется следующим образом. Если отвергается хотя бы одна из представленных гипотез, то поток отказов не является простейшим.

Критерии 2 и 3 коррелируют, но, в некоторых ситуациях дополняют друг друга. В дальнейшем будем полагать, что все они независимы. Рассмотрим и исследуем представленные критерии.

Рассмотрим критерий о пуассоновском приращении числа отказов, представленный в [8]. Как известно, для проверки гипотез о законе распределения применяются критерии согласия. В случае, когда по выборке оцениваются параметры распределения, используется критерий Фишера [4], [11].

Для критерия проверки гипотезы принадлежности эмпирических частот пуассоновскому закону необходимо рассчитать статистику:

,  (4)

где – общее число лет наблюдений; – количество лет (эмпирическая частота) с числом отказов, равным ; – теоретическая вероятность отказов за один год; – число интервалов группировки.

Отдельно следует определить оценку в формуле (4). Как известно, она оценивается максимизацией логарифмической функции правдоподобия по группированным данным, т. е. решением задачи

.

Можно показать, что в этом случае

.  (5)

Далее рассчитывается -значение

  (6)

где – плотность распределения с степенями свободы; х – рассчитанное значение статистики. Если , где – уровень значимости, то нулевая гипотеза о пуассоновском приращении числа отказов отвергается для заданного уровня значимости.

Выводы по критерию пуассоновости:

1 В ряде случаев наблюдается сдвиг влево распределения статистики . Следовательно, распределение статистики (4) может быть отлично от распределения или же может иметь другое число степеней свободы.

2 Получаемое распределение статистики зависит от интенсивности , числа лет T, числа степеней свободы, с которым выбираются статистики для проверки согласия.

Подведем итог по результатам исследования критерия проверки гипотезы о пуассоновском приращении числа отказов.

1 При расчете статистики критерия следует либо не группировать, либо группировать нулевые частоты. Критерий становится несостоятельным против альтернативы с возрастающей интенсивностью при группировании малых частот.

2 Критерий является смещенным. При его применении будет наблюдаться эффект «ложного срабатывания»: нулевая гипотеза о пуассоновском приращении числа отказов будет отклоняться чаще. Таким образом, выводы будут пессимистическими, что приемлемо в теории надежности.

Следует особо отметить, что для дальнейших исследований, описанных в статье, статистика критерия о пуассоновском приращении числа отказов вычисляется при группировании нулевых частот. Р-значение рассчитывается согласно выражению (6).

Для проверки постоянства эмпирических частот применяется критерий вида , предложенный в [8]. Необходимо рассчитать статистику:

,  (7)

где – общее число лет наблюдений, – количество отказов за -ый год эксплуатации, – среднее число отказов.

Далее рассчитывается р-значение по формуле (7) с степенями свободы. Если , где – уровень значимости, то нулевая гипотеза о постоянстве эмпирических частот отказов отклоняется.

На практике возникают ситуации, когда . В этом случае, необходимо проверить согласие получаемых (при справедливости гипотезы о постоянстве приращения числа отказов) статистик распределению с числом степеней свободы . Для проверки гипотезы согласия также воспользуемся критерием [11].

Выводы по критерию постоянства приращений.

1 Критерий проверки гипотезы о постоянстве приращении числа отказов является несмещенным относительно уровня значимости , причем даже для малых интенсивностей ().

2 С увеличением объем выборки (числа лет ) мощность критерия возрастает быстрее.

Подведем итог по результатам исследования критерия проверки гипотезы о постоянстве приращения числа отказов: критерий позволяет принимать корректные решения по принятию или отклонению нулевой гипотезы.

В качестве критериев случайности исследовались критерий Кендалла и Спирмена [11].

Выводы по критерию случайности

1 При малом числе лет, например, критерий проверки гипотезы старения является смещенным вниз относительно уровня значимости и является оптимистическим: чаще принимается нулевая гипотеза отсутствия линейного положительного тренда. Применять проверку гипотез для малого числа наблюдений и получать какие-либо выводы нецелесообразно.

2 Для выборки приемлемого объема, критерий проверки гипотезы старения является несмещенным, причем даже для малых интенсивностей ().

3 Критерии, основанные на статистике Спирмена и Кендалла, совпадают по мощности.

4 С увеличением числа лет мощность критерия возрастает быстрее.

5. К сожалению, провести исследование критерия для с вычислением достигаемого р-значения не удалось из-за очень больших вычислительных затрат на генерацию перестановок. Исследование критерия проверки гипотезы старения при данном числе лет имеет практическую значимость.

6. Критерий проверки гипотезы случайности отличает от критерия проверки гипотезы старения только тем, что в первом случае критическая область односторонняя.

Выводы по обобщенному критерию.

1 Обоснован обобщенный критерий и все критерии, его составляющие.

2 Выяснено, что статистика критерия о пуассоновском приращении числа отказов не имеет согласия с распределением с соответствующим числом степеней свободы.

3 Установлено, что критерий о пуассоновском приращении числа отказов имеет сдвиг мощности вверх и является пессимистическим. Критерии проверки гипотез о постоянстве и случайности приращения числа отказов позволяют применять корректные решения по принятию или отклонению соответствующих гипотез.

4 Показана необходимость всех трех критериев, входящих в состав обобщенного.

5 Определено, что обобщенный критерий проверки гипотезы является смещенным и пессимистическим.

Литература

правочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Пер. с англ. – М.: Наука, 1979. – 832 с. адежность и техническое обслуживание. Математический подход: Пер. с нем. - М.: Радио и Связь, 1988. – 392 с.. , и др.; Под ред. Надежность технических систем: Справочник / Н 17 Ю. – М.: Радио и связь, 1985. – 608 с. , Математическая статистика: Учебник. – М.: Наука., 1984. – 472 с. Ван дер Варден. Математическая статистика. Пер. с нем. – М.: Издательство иностранной литературы, 1960. – 434 с. , Теория случайных процессов и ее инженерное приложение. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. (Физико-математическая б-ка инженера.),1991. – 384 с. Вероятностный анализ показателей надежности остаточного ресурса оборудования подсистем СУЗ Билибинской АЭС на основе информации об отказах за период 1974-2006г. / , и др. Технический отчет, – М. ВНИИАЭС, 2007. – 114 с. , Неоднородный поток отказов и восстановлений. – Диагностика и прогнозирование состояния объектов сложных информационных интеллектуальных систем. Сборник научных трудов №14 кафедры АСУ. – Обнинск: ИАТЭ, 2002. – с. 36-44. еория ранговых критериев. Пер. с англ. - М.: Наука, 1971. – 376 с. , Математическая модель совместного потока событий. – Диагностика и прогнозирование состояния сложных систем. Сборник научных трудов №18 кафедры АСУ / Под ред. д. т.н. проф. . – Обнинск: ИАТЭ, 2009. – С. 64-79. , Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 1984. – 248 с. Интегральный критерий проверки гипотезы тренда / , // Надежность, 2006. № 2. – C. 17-27. анговые корреляции. – Зарубежные статистические исследования. Пер. с англ. – М.: Статистика, 1975. – 216 с. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с. , Об учете неоднородности потока отказов. – Диагностика и прогнозирование состояния сложных систем. Сборник научных трудов №15 кафедры АСУ. – Обнинск: ИАТЭ, 2004. – C. 31-36. Обоснование продления установленного срока службы электрооборудования СУЗ Билибинской АЭС на период после 31.12.2006 г. / , и др. Технический отчет №ОЭ-3448. 2006, – М. ВНИИАЭС, 2006. – 113 с. , , Метод обработки статистических данных о надежности оборудования в процессе эксплуатации атомных станций. Известия ВУЗов. Ядерная энергетика. № 3. Выпуск 1. – 2007. – C. 30-37. Учет неполноты восстановления элементов при расчете надежности систем. Изв. Вузов. Приборостроение, 1994, C.76-79.