УДК 517.98

  О ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ОДНОГО КУБИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА НА ДВУМЕРНОМ СИМПЛЕКСЕ

Филиал Карши, ТУИТ

В работе изучено один вольтерровский кубический оператор на двумерном симплексе. Для одного вольтерровского кубического оператора на двумерном симплексе найдены все неподвижние точки. Дано описание предельного множества траектории для некоторых подклассов таких операторов.

При исследовании динамической системы изучаются эволюции состояния системы. Обычно "потомки" состояния системы определяются некоторым законом. Для решений задач, возникающих в математической генетике, часто используются квадратичные и кубические стохастические операторы. Такие операторы привлекают внимание специалистов в различных областях математики и ее приложений (см., например, [1-12], [14-17]). Мотивацию рассмотрения  произвольных (не только вольтерровских) квадратичных и кубических стохастических операторов можно найти, например в [8,10,14]. В работе [11] приведен обзор результатов и открытых проблем, посвященных квадратичным стохастическим операторам. Но теория кубических стохастических операторов изучена сравнительно мало.

Пусть Множество        

называется мерным симплексом. Каждый элемент является вероятностной мерой на Е, и его можна интерпретировать как состояние биологической (физической и т. п) системы, состоящей из элементов.

Кубической стохастический оператор имеет вид

  ,  (1)

где

  ,  (2)

На коэффициенты накладываются условия: 

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

        , если ,  (3)

       Кубические операторы, удовлетворяющие условию (3), назовем вольтерровскими кубическими операторами [1],[2].

       В настоящей работе мы расмотрим случай и волтерровский кубический оператор

    (4)

где Неподвижная точка оператора (4) есть решение уравнения т. е. решение системы

    (5)

Обозначим через Fix множество всех неподвижных точек оператора .

Лемма. Имеет место равенство

               Доказательство. Легко проверит, что точки , , являются неподвижними точками оператора (7) для любых . Пусть . Из (5) при получим и при имеем .

               Лемма доказана.

Пусть Якобиан оператора (4) в точке единичная матрица и неподвижная точка.

Рассмотрим уравнение

  ,  (6)

       Определение 1. Если Якобиан оператора в неподвижной точке не имеет собственного значения на единичной окружности, то называется  гиперболической.

Определение 2. Гиперболическая неподвижная точка называется 1) притягивающей, если все абсолютные величины собственных значений якобиана меньше единицы; 2) отталкивающей, если все абсолютные величины собственных значений якобиана больше единицы; 3) седловая, в остальных случаях.

Чтобы определить тип неподвижной точки для оператора (4), рассмотрим несколько случаев.

Случай  .

В этом случае оператор (4) имеет вид

    (7)

Таким образом, первая координата, т. е. , остается инвариантной для (7). Используя и инвариантность первой координаты, траекторию оператора (7) можно записать следующим образом:

  ,  (8)

Следовательно, достаточно изучить поведение Таким образом, изучим динамическую систему, заданную функцией неподвижные точки для являются , .        

В этом случае

       

т. е. точка отталкивающая, если , и притягивающая, если , . Кроме того , т. е. точка седловая.

При легко видеть, что возрастающая и имеет предел и при , убывающая и имеет предел .

Приведем следующую теорему без доказательство

Теорема. Пусть тогда траектория оператора (7) имеет следующие пределы:

       

Список литературы


Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры. // Матем. Сб., 1992, Т.183, No. 8, c.121-140. , Математическая модель коолиции биологических систем. //  ДАН РУз. 1992, No.3, с.14-17. Об одном семействе квадратичных стохастических операторов действующих в . //  ДАН РУз. 1989, No.1, с.3-5. Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий. // 8 : (12-28) 2006. Решение одной математической проблемы связанной с теорией наследованности. // Уч. зап. Н.-И. каф. Укр. отд. мат. 1924, No. 1, c.83-115. Ulam S. M. A collections of mathematical problems. // Los Alamos Sci. Labor. New Mexico. 1967. О предельном поведении последовательности итераций некоторых квадратичных преобразований. // ДАН СССР. 1972, Т.202, No.3, c.515-517. Математические структуры в популяционной генетике. // Киев: Науково Думка, 1983. Janks R. D. Quadratic differential systems for interactive population models.  Jour. Diff. Equation, 1969, V.5. No.3,p. 497-514. Kesten H. Quadratic transformations: a model for population growth I, II.  Adv. Appl. Prob. 1970, No.2, p.1-82 and p.179-228. Ganikhodzhaev R. N., Mukhamedov F. M., Rozikov U. A. Quadratic stochastic operators and processes: results and open problems.  Inf. Dim. Anal. Quant. Prob. Rel. Fields. 2011. V.14, No.2, p.279-335. Об одном кубическом операторе вольтерровского типа. //  УзМЖ No. 3, 2009, стр. 65-71. Devaney R. L. An introduction to chaotic Dynamical systems. // Westview Press. 2003. [14] Hofbauer J. Sigmund K. The theory of evolution and dynamical systems. //  Cambridge Univ. Press. 1988. , О кубических операторах, определенных на конечномерных симплексах. //  УкрМЖ 2004. Т.56, No. 10, c.1418-1427. Ganikhodjaev N. N., Rozikov U. A. On quadratic stochastic operators generated by Gibbs distributions. //  Regular and Chaotic Dynamics. 2006, V.11, No.4, p. 467-473. -квадратичные стохастические операторы. //  Матем. заметки, 2008, Т.83, No. 4, c. 606-612.