Research Project

Research Project

1. Фундаментальная научная проблема, на решение которой направлен проект:

Проблемы построения алгебраических моделей гомотопических типов, проблема

асферичности Уайтхеда, проблемы Кервера-Лауденбаха, псевдохарактеров и

квазихарактеров на группах, топологизаций групп, обобщения проблемы

Шпехта, исследование вопросов конечной базируемости и автоморфизмов алгебраичческих систем.

2. Конкретная фундаментальная задача в рамках проблемы, на решение которой направлен проект:

Михайлов

исследует связь аппроксимационных свойств алгебраических моделей

гомотопических типов с асферичностью. В данном направлении планируется

получить новые алгебраические условия, обеспечивающие асферичность

подкомплексов асферических двумерных комплексов, т. е. получить новые

результаты относящиеся к проблеме асферичности Уайтхеда. Гипотеза

Кервера-Лауденбаха утверждает, что тривиальная группа не может быть

получена из нетривиальной путем добавления одного образующего и одного

соотношения. Клячко планирует исследовать другие подобные вопросы,

например, он планирует доказать, что группа, полученная из

нетривиальной группы без кручения путем добавления двух образующих и

одного соотношения, всегда содержит неабелевы свободные подгруппы и

даже является SQ-универсальной. Шмелькин планирует изучать разложения

идеалов в алгебрах Ли. Бардаков планирует изучать нильпотентную

аппроксимируемость групп зацеплений и обобщенные группы кос. Также

планируется рассмотрение задач, поставленных Коэном и Ву о связи групп

крашеных кос, гомотопических групп сфер и инвариантов Васильева узлов.

Белов исследует прпоблемы конечной базируемости для алгебр Ли его связи с теоретико групповыми вопросами, а также комбинаторные характеристики многообразий алгебр. Знаменитая проблема Якобиана связана с описанием автоморфизмов среди автоморфизмов. Данная проблема сязана с вопросами квантизации. Предполагается провести исследования обобьщения проблемы якобиана на различные многообразия алгебр, а также группу автоморфизмов алгебры Вейля.

3. Предлагаемые методы и подходы (с оценкой степени новизны). Общий план работ на весь срок выполнения проекта:

Планируется

применение новых методов в теории гомологий групп, развитых в работах

Михайлова и Пасси, методов геометрической и комбинаторной теории групп диаграммы Ван Кампена, кольцевых методов.

Планируется применение методов доказательства конечной базируемости, развитых в работах А. Р,Кемера и . Планируется применение новых методов в проблеме Якобиана развимтых , , .

4. Ожидаемые в конце 2006 года научные результаты (развернутое описание с оценкой степени оригинальности; форма изложения должна дать возможность провести экспертизу результатов):

Решение некоторых проблем из списка Кохрана о нильпотентной аппроксимируемости

групп зацеплений. Получение новых алгебраических условий,

обеспечивающих асферичность некоторых классов двумерных комплексов.

Доказательство SQ-универсальности групп, получаемых из нетривиальных

групп без кручения путем добавления двух образующих и одного

(произвольного) соотношения. Другими словами, получение относительного

аналога теоремы Сасердота--Шуппа. Обобщение на относительные

копредставления некоторых других теорем о группах с одним соотношением.

Описание группы автоморфизмов полугруппы эндоморфизмов свободной ассоциаивной и свободной ассоциативно-коммутативной алгебры. Доказательство эквивариантности гомоморфизма между группой автоморфизмов алгебры дифференциальных операторов и группой полиномиальных симплектоморфизмов. Доказательство конечной базируемости систем тождеств от ограниченного числа переменных для многообразий алгебр Ли, в которых выполняется система тождеств Капелли.

5. Современное состояние исследований в данной области науки, сравнение ожидаемых результатов с мировым уровнем:

Проблема асферичности Уайтхеда является одним из основных открытых вопросов

геометрической топологии и комбинаторной теории групп. В данном

направлении написаны десятки работ, в которых содержится решение этой

проблемы для частных случаев двумерных комплексов. Например, известно,

что проблема Уайтхеда верна для подкомплексов стягиваемых комплексов, у

которых совершенный радикал фундаментальной группы тривиален. Однако

даже в простейшем случае стягиваемого двумерного комплекса, состоящего

из трех двумерных клеток проблема Уайтхеда целиком остается открытой.

Ожидается применение новых методов теории групповых колец, что должно

дать новые алгебраические условия на подкомплексы асферических

двумерных комплексов, влекущие их асферичность. Известно, что группа H,

полученная из группы без кручения G добавлением одного образующего и

одного соотношения наследует многие свойства исходной группы. В

частности, группа H нетривиальна, если G нетривиальна; H непроста, если

G  непроста. Ожидается получение новых результатов такого рода.

Проблемы описания групп автоморфизмов алгебраических систем связаны как с теорией групп, так и с теорией многообразий алгебр. Знамениетая проблема Якобиана дает критерий обратимости полиниомиального отображения. обобщил эту проблему для произвольных многообразий а также для групп и докал (вместе с Диксом) для многообразия свободных ассоциативных алгебр. Кроме того, он свел эту проблему к проблеме следования тождеств в тернарных алгебрах. Техника работы с конечной базируемостью была развита в работах Размыслова, Кемера, Белова, Гришина, Щиголева. В последнее время выясняются связи между  проблемой Якобиана и квантовой теорией. J. Dixmier поставил вопрос: верно ли что каждый эндоморфизм алгебры вейля автоморфизм?  Из положительного решения проблемы Диксмье следует проблема Якобиана. В последнее время независимо, Тсушимото с одной стороны, и Белов и Концевич с другой, установили обратную импликацию. 

6. Имеющийся у коллектива научный задел по предлагаемому проекту: полученные ранее результаты (с оценкой степени оригинальности), разработанные методы (с оценкой степени новизны):

Решена проблема Кервера-Лауденбаха для групп без кручения. Решена проблема

Плоткина о конечной базируемости квазимногообразия групп с тривиальной

четвертой размерной подгруппой. Данное квазимногообразие описано

гомологически, используя фильтрацию Пасси-Штаммбаха. Решена проблема

Молдаванского об отделимости подгрупп. Развиты методы работы со вторыми

гомотопическими модулями двумерных комплексов. Решена проблема о построении неконечнобазируемой системы тожддеств в ассоциативной алгебре. Решены проблемы Мальцева о локальной конечной базируемости и локальной представимости многообразий ассоциативных алгебр. Показана эквивалентностть проблем Якобиана и Диксмие (совместно с М. Концевичем).

7. Список основных публикаций коллектива, наиболее близко относящихся к предлагаемому проекту:

Mikhailov

R., Passi I. B.S. Augmentation powers and group homology, J. Pure Appl.

Algebra, 192 (2004), 225-238. Mikhailov R., Passi I. B.S. The

transfinite filtration of Schur multiplicator, Int. J. p. N

5&6 (2005), 1061-1074. Mikhailov R., Passi I. B.S. Higher traces on

group rings, Comm. Alg. 33 (2005), 987-997. нильпотентной

и разрешимой аппроксимируемости групп, Мат. Сб. 196 (2005) p. 109-126.

Ol'shanskii A. Yu, Shmel'rin A. parision of products of varieties

of Lie m. Alg. 2001, v.29, no.9. ,

Применения вложения Магнуса в теории многообразий групп и

алгебр Ли. Фунд. и прикл. Матем., 1999, т.5, с. 493-502. Клячко Ант.

А., Метод спуска для уравнений над группами {// Вестн.

МГУ: Мат., Мех.} 1995. {4}. С.90--93. Ivanov S. V., Klyachko Ant. A.

Solving equations of length at most six over torsion-free groups {// J.

Group Theory}. 2000. {V.3}. P.329--337. Klyachko Ant. A. A funny

property of a sphere and equations over groups {// Comm. Algebra}.

1993. {V.21}. P.2555--2575. Klyachko Ant. A. Asphericity tests {// J.

Algebra}. 1997. {V.7}. P.415--431. Klyachko Ant. A. Equations over

Groups, Quasivarieties, and a Residual Property of a Free Group.//

Journal of Group theory, V.2 (1999). Klyachko A. A., Sipachva O. V.

Topological Solvability of Equations over Groups Communications In

Algebra, 2001, 29(9), 4249-4265. Bardakov V. G. Linear representations

of the braid groups of some manifolds. Acta Appl. Math. 85 (2005), no.

1-3, 41--48. Bardakov V. Shpilrain V., Tolstykh V. On the palindromic

and primitive widths of a free group. J. Algebra 285 (2005), no. 2,

574--585. Bardakov V. G. The virtual and universal braids. Fund. Math.

184 (2004), 1--18.

math. RA/0512171 The Jacobian Conjecture is stably equivalent to the Dixmier Conjecture. Alexei Belov-Kanel, Maxim Kontsevich. Belov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim Automorphisms of the Weyl algebra.  Lett. Math. Phys.  74  (2005),  no. 2, 181--199. 16S32 , Belov, A. Ya.; Ivanov, I. A. Construction of semigroups with some exotic properties.  Acta Appl. Math.  85  (2005),  no. 1-3, 49--56., Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle Computational aspects of polynomial identities. Research Notes in Mathematics, 9. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2005. xxii+378 pp. ISBN: 1-56881-163-2 ,

Belov, A. Ya. The Gel\cprime fand-Kirillov dimension of relatively free associative algebras. (Russian)  Mat. Sb.  195  (2004),  no. 12, 3--26;  translation in  Sb. Math.  195  (2004),  no. 11-12, 1703--1726 ,  Belov, Alexei; Makar-Limanov, Leonid; Yu, Jie-Tai On generalized cancellation problem.  J. Algebra  281  (2004),  no. 1, 161--166. , Belov, A. Ya. Counterexamples to the Specht problem. (Russian)  Mat. Sb.  191  (2000),  no. 3, 13--24;  translation in  Sb. Math.  191  (2000),  no. 3-4, 329--340

8. Список основных (не более 5) публикаций руководителя проекта в рецензируемых журналах за последние 3 года (независимо от их тематики):

О вложениях некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли, Фунд.

Прикл. Мат. т.10, в.4. стр. 235-241, 2004 (совм. с ).

I suppose to work on relations between quantization theory and investigating  automorphisms of  Weil algebra and polynomial symplectomorphisms of affine space.

Also I want to investigate finite basis problem of Identities of algebra of vector fields.