Глава 4. Основные законы распределения

Глава 4. Основные законы распределения.

4.1. Биномиальный закон распределения.

Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями

  P(X = m) = ,  (4.1.1)

где , , .

Биномиальный закон – это закон распределения числа наступлений события A в n независимых испытаниях при условии, что в каждом испытании оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Математическое ожидание биномиального закона распределения имеет вид

  ,  (4.1.2) где n – число испытаний, - вероятность появления события A в каждом из испытаний.

Дисперсия биномиального распределения имеет вид

  .  (4.1.3)

Рассмотрим частость события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие A может наступить с одной и той же вероятностью p. Частость события - случайная величина, где X распределена по биномиальному закону и n – постоянная величина.

Тогда    (4.1.4)

и    (4.1.5).

4.1.1. В магазин поступили телевизоры от двух производителей в соотношении 2:3. Куплено 3 телевизора. Найти: 1) закон распределения случайной величины X – числа купленных телевизоров, изготовленных первым производителем; 2) M(X) и D(X). 

Решение. Случайная величина X распределена по биномиальному закону.

Решение. Вероятность того, что случайно выбранный телевизор изготовлен первым производителем, равна  , тогда . Случайная величина X распределена по биномиальному закону, где число испытаний .

Вычислим вероятности:

0	1	2	3
0,216	0,432	0,288	0,064

Ряд распределения имеет вид:

Используя формулы (4.1.2) и (4.1.3), найдем M(X) и D(X):

               

4.1.2. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события A в трех независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и .

Решение. Воспользуемся формулой . По условию, и . Следовательно, и , .

Тогда .

4.2. Закон распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное множество значений) с вероятностями

  ,  (4.2.1)

где m – число появлений события A в n независимых испытаниях, - параметр  закона Пуассона, p – вероятность появления события A в каждом испытании.

Математическое ожидание и  дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , т. е. 

  .  (4.2.2)

Закон Пуассона является предельным случаем биномиального закона при достаточно больших и малых значениях . Так как закон Пуассона применяется в случае малых значений p, то его называют законом редких событий.

4.2.1.  Учебник издан тиражом 200000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 2. Найти: 1) вероятность того, что учебник содержит ровно 10 бракованных книг; 2) среднее число бракованных книг.

Решение. По условию, , . Так как число n велико, а вероятность p мала, воспользуемся законом Пуассона  .

Найдем :  .

Тогда 1) .

2) M(X) – среднее число бракованных книг, равно , т. е. .

4.2.2.  Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени T равна 0,001. Найти: 1) вероятность того, что за время T откажут не более двух элементов; 2) среднее число отказов; 3) среднее квадратическое отклонение числа отказов.

Решение. Число , вероятность мала и рассматриваемые события независимы, поэтому имеет место закон распределения Пуассона.

1) .

Вычислим : .

Тогда и 

  .

2) M(X) – среднее число отказов за время T, равно . Следовательно, .

3) , где . Следовательно, .

4.3. Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, m, … (бесконечное множество значений) с вероятностями

  ,  (4.3.1) где .

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

В этом законе вероятности , , образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. 

Математическое ожидание случайной величины X с геометрическим законом распределения имеет вид

  ,  (4.3.2) а дисперсия

  ,  (4.3.3) где .

4.3.1.  Проводится проверка партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверок). Составить закон распределения числа проверок. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если вероятность брака равна 0,2.

Решение. Случайная величина X – число проверенных деталей до обнаружения брака – имеет геометрическое распределение с параметром и .

Поэтому ряд распределения имеет вид

1	2	3	4	…	m	…
0,2	0,16	0,128	0,1024	…	0,2	…

По формулам (4.3.2) и (4.3.3) .

4.4. Равномерный закон распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее дифференциальный закон имеет вид

  .  (4.4.1)

Интегральный закон распределения случайной величины X имеет вид

  .  (4.4.2)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X соответственно равны:

  ,  (4.4.3)

  .  (4.4.4)

4.4.1.  Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 15 минут. Найти:  1) вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной автобус менее пяти минут; 2) математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины X – времени ожидания автобуса.

Решение. Время ожидания автобуса можно рассматривать как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале [0,15]. Плотность вероятности имеет вид

  .

1) Вычислим вероятность ожидания

.

2) ; и .

4.4.2. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [-2,3]. Построить график дифференциального и интегрального законов распределения X.

Решение. Как следует из формулы (4.4.1) плотность равномерного распределения данной случайной величины имеет вид

  .

Кривая представлена на рис. 4.4.1

   

 

  -2  3  x

  Рис. 4.4.1.

Как следует из формулы (4.4.2) функция распределения имеет вид

  .

График представлен на рис. 4.4.2.

 

  1

  -2  3  x

  Рис. 4.4.2

4.5. Показательный закон распределения.

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону с положительным параметром , если ее плотность вероятности имеет вид

  .  (4.5.1)

Кривая распределения приведена на рисунке 4.4.3.

 

 

  0  x

  Рис. 4.4.3

Функция распределения показательного закона имеет вид

  .  (4.5.2)

График распределения этой функции изображен на рисунке 4.4.4.

 

  1

  0  x

  Рис. 4.4.4

Для случайной величины X, распределенной по показательному закону, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

  .  (4.5.3)

4.5.1. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону .

Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,1; 0,2);  2) M(X) и D(X).

Решение. Так как вероятность попадания случайной величины X в интервал (a, b) равна , то используя формулу (4.5.2), получим

.

2) Так как в данном распределении параметр , то и .

Обозначим через T непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы некоторого устройства, а через - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Длительность безотказной работы устройства (элемента) имеет показательное распределение, заданное функцией :

  .  (4.5.4)

определяет вероятность отказа элемента за время t.

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время t:

  .  (4.5.5)

Так как событие противоположно событию , то

.

Следовательно,

  .  (4.5.6)

4.5.2. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго - . Найти вероятность того, что за 10 час.:  1) оба элемента откажут; 2) оба элемента не откажут; 3) хотя бы один элемент откажет.

Решение. 1) вероятность отказа первого элемента за 10 час.

.

Вероятность отказа второго элемента

.

Вероятность того, что оба элемента откажут

.

2) Вероятность безотказной работы первого элемента

;

для второго элемента

.

Вероятность безотказной работы всех элементов

.

3) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент

.

4.6. Нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

  ,  (4.6.1) где и - параметры распределения.

Кривая нормального закона распределения (рис. 4.6.1) называется кривой Гаусса. Эту кривую обозначают . Она симметрична относительно прямой . Следовательно, математическое ожидание случайной величины X

  .  (4.6.2)

  ц(x)

     

  0  a  x

  Рис. 4.6.1

Дисперсия случайной величины X

  .  (4.6.3)

Таким образом, параметры и - соответственно математическое ожидание и квадратичное отклонение случайной величины.

Функция распределения имеет вид

  ,  (4.6.4)  где    (4.6.5) нормальная функция распределения с параметрами .

Значения этой функции приведены в приложении (табл.). Вероятность попадания случайной величины X на интервал вычисляется по формуле

  .  (4.6.6)

Между нормальной функцией и функцией Лапласа существует связь

  .  (4.6.7)

Тогда вероятность попадания нормального распределения случайной величины X вычисляется через функцию Лапласа

  .  (4.6.8)

Вероятность попадания нормальной распределенной случайной величины X на симметричный интервал имеет вид

    (4.6.9) или 

  .  (4.6.10)

Эта вероятность может быть вычислена как через нормальную функцию (формула 4.6.9), так и через функцию Лапласа (формула 4.6.10).

Для нормально распределенной случайной величины имеет место «правило трех сигм»: если случайная величина X имеет , то все ее значения практически заключены в интервале .

Нарушение «правила трех сигм» является событием практически невозможным, так как его вероятность

достаточно мала.

4.6.1. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, если , а .

Решение. Параметры нормального распределения . Следовательно, имеет вид (см. формулу 4.6.1)

  .

4.6.2. Случайная величина X, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. Систематическая ошибка в сторону завышения равна 1,25 м.; среднее квадратическое отклонение ошибки равно 1 м. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,8 м.

Решение. X – случайная величина, для которой , т. е. , . Тогда, используя формулу (4.6.8),

4.6.3. Производится измерение некоторой величины без систематических ошибок. Случайные ошибки X подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что из двух независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 2 мм.

Решение. Отсутствие систематических ошибок означает, что . Тогда .

Вероятность противоположного события и вероятность того, что при двух независимых измерениях случайная величина X оба раза не попадет в интервал (-2, 2) будет равна . Тогда по формуле вероятности появления хотя бы одного события .

4.7. Задачи для самостоятельного решения.

4.7.1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выигравших облигаций среди приобретенных 50.

4.7.2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 600 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно пять вызовов?

4.7.3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равномерно распределенной на отрезке .

4.7.4. Вероятность безотказной работы элемента распределена по показательному закону . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 100 часов.

4.7.5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ответы:

4.7.1. 4.7.2. 0,0378; 4.7.3. ; 4.7.4. 0,0498; 4.7.5. 0,9725.