Методы определения аппроксимирующего спектра сигнала(2 ч)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
Методы определения аппроксимирующего спектра сигнала(2 ч)

Цель и содержание: изучить методику определения аппроксимирующего спектра сигнала, приобрести навыки построения таких моделей в системе компьютерной математики MATLAB.

Организационная форма занятий: решение проблемных задач, разбор конкретных ситуаций

Вопросы для обсуждения на лабораторном занятии: задача определения аппроксимирующего спектра методом наименьших квадратов; построение структурной схемы виртуального генератора системы базисных функций; метод равных площадей; блочно-импульсная аппроксимация.

Теоретическое обоснование

Пусть непрерывный сигнал задан на некотором интервале изменения аргумента . Выбирается некоторая система функций, заданных на том же интервале изменения аргумента. Из теории аппроксимации известно, что сигнал может быть представлен на определенном интервале изменения аргумента обобщенным полиномом

(3.1)

Систему коэффициентовобычно называют аппроксимирующим полиномиальным спектром (АПС) сигнала.

Метод наименьших квадратов

Задача определения аппроксимирующего спектра методом наименьших квадратов формулируется следующим образом: определить систему величин, минимизирующую норму функции ошибки

В качестве нормы ошибки будем использовать условие

(3.2)

где – весовая функция.

        Вектор АПС сигнала находится по формуле:

(3.3)

где элементы операционных матриц  и вектора вычисляются следующим образом:

(3.4)

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов на примере.

Пример 3.1.   Необходимо аппроксимировать методом наименьших квадратов сигнал на интервале. В качестве базисных функций взять степенные функции 5-го порядка.

Структурные схемы определения коэффициентов по формулам 3.3–3.4 представлены на рисунках 3.1и 3.2.

Рисунок 3.1. Структурная схема определения коэффициентов аппроксимирующего полинома

Рассмотрим подробнее блоки, задающие сигнал и базисные функции. На рисунке 3.2 показан блок X(t).

Рисунок 3.2. Блок, генерирующий аппроксимируемый сигнал

Источником является генератор линейно возрастающего сигнала Ramp, который в данном случае ассоциируется со временем t.

Далее, на рисунке 3.2 видно, как с помощью блоков математических операций (возведение в степень, умножение на константу, преобразование входного сигнала с помощью тригонометричной функции), на выходе получаем заданный сигнал x(t). Для наглядности перед выходом подключен «виртуальный осциллограф» (Scope), на котором в процессе моделирования отображается сигнал . Общий вид окна блока Scope с его панелью инструментов изображен на рисунке 3.3

.

Рисунок 3.3. Панель инструментов виртуального осциллографа и график сигнала, выведенный на осциллограф

Блок S(t), представленный на рисунке 3.1,  генерирует систему базисных функций его структурная схема показана на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4. Структурная схема виртуального генератора системы базисных функций

Поскольку система базисных функций имеет удобный для моделирования вид, можно из первой функции с помощью интегрирования (блок Integrator) получить следующие. Блоки умножения на константу Gain, Gain1, Gain2 необходимы для нормирования степенных функций.

Полученные функции выводятся на выход этой подсистемы и на виртуальный осциллограф. Изображения базисных функций показаны на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5. Система базисных функций

Основу схемы составляет подсхема Analysis MNK, которая в развернутом виде приведена на рисунке 3.6.

Виртуальные индикаторы Scope и Display, показанные на этой подсхеме, не являются обязательными для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома, а предназначены для контроля правильности построения структурной схемы в процессе отладки виртуальной модели.

Рисунок 3.6. Расчет коэффициентов по методу наименьших квадратов

Дополним схему расчета коэффициентов блоками для восстановления сигнала. Схема примет следующий вид:

Рисунок 3.7 – Восстановление сигнала по найденному спектру

Результаты работы модели выводятся на экран виртуального осциллографа, и изображены на рисунке 3.8.

Рисунок 3.8. Исходный сигнал и его аппроксимация по методу наименьших квадратов

Аппаратура и материалы. Для выполнения лабораторной работы необходим персональный компьютер с характеристиками, позволяющими установить операционную систему Windows XР и выше, интегрированный пакет MicrosoftOfficе, систему компьютерной математики MATLAB R2011b и выше.

Указания по технике безопасности. Указания по технике безопасности приведены в Приложении.

Методика и порядок выполнения работы

Выполните предложенные задания, предварительно ознакомившись с теоретической частью. Параметры сигналов приведены в таблице 3.1. Номер варианта соответствует номеру, под которым студент записан в списке группы.

Задание 3.1.Необходимо аппроксимировать методом наименьших квадратов сигнал на интервале. В качестве базисных функций взять степенные функции 5-го порядка.

Таблица 3.1. Параметры задачи

№ вар-та	func	A	B	C
1.	cos	1	р	2t
2.	sin	0.5	рt	t
3.	tg	0.2	р	0
4.	sin	1	р
5.	cos	0.1		2t
6.	tg	0.6	р	t
7.	sin	1	2рt	2t
8.	cos	0.9	р	t
9.	tg	0.7	3рt	0
10.	sin	1	3р

Содержание отчета и его форма

Подготовьте отчет, в котором приведите технологию выполнения заданий.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

название работы; цель лабораторной работы; формулировку задания и технологию его выполнения; ответы на контрольные вопросы; приложение – файлы выполненных заданий.

Вопросы для защиты работы

Какие основные методы используются для определения аппроксимирующего спектра сигнала? В чем заключается суть метода наименьших квадратов для определения аппроксимирующего спектра? В чем заключается суть метода равных площадей для определения аппроксимирующего спектра? В чем заключается суть метода блочно-импульсной аппроксимации?