Тема 5. Числовые функции и некоторые кривые (стр. 4 )

18. При каком значении уравнение определяет единственную точку?

19.** Найдите шесть различных решений уравнения в целых числах , наибольший общий делитель которых равен 1.

20.** Найдите координаты фокусов эллипса:

а) ;

б) .

21. ** Докажите, что эллипсы и подобны.

22.** Определим касательную к эллипсу как прямую, имеющую с эллипсом единственную общую точку. Найдите уравнения касательных к эллипсу , проведенных из начала системы координат.

Ответы и указания

Задача 5. Даны точки и . Найдите уравнение окружности, диаметром которой является отрезок .

Указание. Центром окружности является середина отрезка . Поэтому по формулам координат середины отрезка получаем . Радиус окружности можно вычислить как длину отрезка . В результате , и уравнение окружности имеет вид .

Задача 7. На окружности найдите точку, диаметрально противоположную точке .

Указание. Воспользоваться тем, что центр окружности является серединой диаметра. Ответ: .

Задача 9. Составьте уравнение окружности с центром в точке , касающейся прямой .

Указание. Первый способ. Касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Поэтому окружность с уравнением касается прямой тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственное решение, что соответствует тому, что дискриминант равен нулю.

Второй способ. Окружность с центром и радиусом касается прямой тогда и только тогда, когда расстояние от точки до прямой равно . Поэтому в заданной задаче , и окружность имеет уравнение .

Задача 13. Найдите уравнение эллипса вида , проходящего через точки , .

Указание. При подстановке координат заданных точек в уравнение эллипса получаем систему из двух линейных уравнений и с тремя неизвестными. Выражая и через , получаем , . В итоге при получаем уравнение искомого эллипса: .

Задача 14. Найдите координаты фокусов эллипса:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Указание. Прочитайте п. 5.6. В пункте показано, что по уравнению эллипса с осями, расположенными на осях координат, можно найти точки и пересечения с осью и точки и пересечения с осью . При условии фокусы и можно искать как точки с координатами и , используя равенство . При условии фокусы и следует искать как точки с координатами и , также используя равенство .

Задача 16. Найдите уравнение множества всех точек таких, что расстояние от точки до точки в два раза меньше расстояния от точки до прямой .

Указание. Пусть точка имеет координаты . Тогда условие задачи эквивалентно равенству .

Задача 19. Найдите шесть различных решений в целых числах уравнения , наибольший общий делитель которых равен 1.

Указание. Уравнение можно привести к виду , где , . Рациональное решение , нового уравнения находится без труда. Все остальные рациональные решения можно искать как точки пересечения прямых вида с эллипсом , где и — целые числа. В итоге получаем бесконечное множество рациональных решений вида , . Полагая , , , при целых и получаем бесконечное множество целочисленных решений заданного уравнения, из которых нетрудно подобрать шесть, с наибольшим общим делителем, равным 1.

Задача 21. Докажите, что эллипсы

и

подобны.

Указание. Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом переводит эллипс с уравнением в эллипс с уравнением , который равен второму заданному эллипсу.