Занятие 5

Занятие 5

Закон Всемирного тяготения, закон Гука, сила Архимеда

       Закон Всемирного тяготения утверждает, что две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению масс этих точек и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними:

                         (1)

Здесь G = 6,67·10-11 мі/(кг·сІ) ‒ гравитационная постоянная. Этот закон был сформулирован Ньютоном во второй половине 17 века.

Замечание. Формулу (1) можно применять для тел со сферически симметричным распределением массы, каковыми в большинстве случаев можно считать планеты.

       Задача 1.  В результате перехода спутника Земли с одной круговой орбиты на другую скорость его движения увеличивается.  Что происходит при этом с радиусом орбиты спутника и с частот ой его обращения по орбите?

Решение.

       Запишем второй закон Ньютона для спутника массой m, вращающегося по круговой орбите радиусом r:

,

где  M – масса Земли, а - скорость спутника. Выразив отсюда скорость, получим:

.

По условию задачи  скорость движения спутника увеличивается. Следовательно, радиус орбиты должен уменьшаться.

       Теперь выразим период обращения спутника:

.

Из этой формулу следует, что с  уменьшением радиуса орбиты период обращения также уменьшается. Следовательно, частота обращения спутника увеличивается.

       Задача 2.  Получите выражение для первой космической скорости и определите ее значение для Земли.

Решение.

       Первая космическая скорость – это скорость движения спутника по орбите, которая находится на очень небольшой высоте  (по сравнению с радиусом планеты)  над поверхностью планеты. Воспользуемся результатом предыдущей задачи:

,

где R – радиус планеты.  Зная массу планеты и ее радиус, можно найти первую космическую скорость. Но обычно поступают по-другому. Дело в том, что ускорение свободного падения g на поверхности планеты достаточно легко находится  из опыта. С другой стороны, оно определяется выражением:

.

Тогда первая космическая скорость:

.

Так как радиус Земли приблизительно равен 6400 км, то

Закон Гука для упругодеформированной пружины

       Закон Гука утверждает, что модуль силы упругости прямо пропорционален деформации пружины:

,

где  и – соответственно длины деформированной (сжатой или растянутой) и недеформированной пружины, а  – коэффициент жесткости пружины (или просто жесткость пружины). 

Направление силы упругости, действующей на тело со стороны пружины, будем определять таким образом: если пружина растянута, то сила упругости будет направлена от тела к пружине; если пружина сжата – от пружины к телу (рис. 1).

       Задача 1. Если к концу закрепленной пружины приложить силу F1 = 1 Н, направленную вдоль оси пружины и растягивающую ее, то длина пружины будет равна  l1 = 10 см. Если к концу этой же пружины приложить силу F2 = 2 Н, также направленную вдоль оси пружины и растягивающую ее, ее длина будет равна l2 = 15 см. Определите жесткость  пружины.

Решение.

       Запишем закон Гука для двух указанных в условии задачи случаев:

.

Решая полученную систему уравнений, найдем жесткость пружины:

= 20 Н/м.

       Задача 2. В результате испытаний было установлено, что первая пружина под действием силы F1 = 18 Н удлинилась на  x1 = 2 см, а вторая пружина под действием силы F2 = 36 Н удлинилась на x2 = 1 см. Каково будет суммарное удлинение этих двух пружин, если их подвесить вертикально и прикрепить к ним грузы массой  m1 = 4 кг и m2 = 6 кг так, как показано на рис. 2? Массой пружин пренебречь.

  Задача 3.Система из трех грузов, расположенных вдоль одной прямой и скрепленных двумя одинаковыми легкими пружинами жесткостью 14 Н/м каждая, покоится на горизонтальной поверхности. Систему кладут на гладкую наклонную плоскость с углом наклона б=30 0, и удерживают в покое за груз M. Длина всей системы увеличилась на 7 см. Найти значение m.

Закон Архимеда

  Закон Архимеда  является отправным пунктом при изучении условий плавания тел. Согласно этому закону на любое тело, погруженное в жидкость (или газ) с плотностью сж, действует выталкивающая (направленная вверх) сила, равная по величине весу жидкости в объеме погруженной части тела. Эту силу называют силой Архимеда и рассчитывают по формуле:

,  (1)

где - объем погруженной в жидкость части тела.

  Условие плавания тела заключается в равенстве (по величине) действующих на него сил Архимеда и тяжести, т. е.

.  (2)

Если сила Архимеда при помещении тела в жидкость превышает силу тяжести, то тело будет всплывать в этой жидкости. В противном же случае тело будет тонуть.

       Задача 1 . Кубик с ребром a = 10 см плавает в жидкости с плотностью с = 1,5 г/см3, погрузившись на 1/3 своего объема. Какую вертикальную силу следует приложить к другому кубику, сделанному из того же материала, но с вдвое меньшим ребром, чтобы удержать его в воздухе?

Решение.

       Согласно (2), условие плавания кубика заключатся в равенстве сил Архимеда и тяжести, т. е. mg = FA ( рис. 1а). Учитывая, что сила тяжести

mg = стVg = стa3g,

а сила Архимеда (тело погружено на треть своего объема), получим:

.

Отсюда найдем плотность тела .

       Чтобы удержать другой кубик в воздухе ( рис. 1б) к нему необходимо приложить силу, равную действующей на него силу тяжести:

.

Так как длина ребра этого кубика в два раза меньше, чем у кубика, плавающего в жидкости, то искомая сила

Ответ: F = 0,625 Н.

Задачи для самостоятельного решения:

       Задача 2. Шар, целиком погруженный в жидкость с плотностью с1 = 0,9 г/см3, тонет в ней, двигаясь с ускорением a = g/4. Какая часть шара будет погружена в жидкость с плотностью с2 = 1,5 г/см3, на поверхности которой он плавает? Сопротивлением жидкости при движении шара пренебречь.