Урок на тему: «Биквадратное уравнение»

Урок на тему: «Биквадратное уравнение».

Класс:9

Учебник:Алгебра.9 класс.

Авторы:, ,

Год издания:2008

Дополнительная литература:

http://ru. wikipedia. org/wiki/Уравнение_четвертой_степени http://www. resolventa. ru/spr/algebra/ferrary. htm

Цели:

Обучающая: введение понятия биквадратного уравнения, научить решать биквадратные уравнения, исследовать число корней биквадратного уравнения; Развивающая: развивать логическое мышление, математическую речь; Воспитывающая: формирование познавательного интереса

Тип урока: Урок формирования понятия.

Организационный этап.

Цель:подготовить учащихся к уроку

Подготовительный этап.

Цель: подготовить учащихся к усвоению нового материала, направить учащихся на познавательную деятельность.

Метод: репродуктивный.

Форма: фронтальная.

В начале урока на доске записаны упражнения для устного выполнения:

Возведите в степень: 

(х2)2 = … 

(у2)2 = …

Представьте в виде квадрата по основанию a2:

а4 = …

Решите уравнения:

х2 = 9	b2 = 0
а2 = 16	с2 = 17
у2 = 1	р2 = - 25
к2 = - 6	х2 = ј

Придумайте уравнение такого же вида (х2 = а), которое имеет 2 корня, 1 корень и не имеет корней.

Учитель записывает на доске три одинаковых уравнения, в которых пропущен свободный член: х2+4х…=0  2.  х2+4х…=0  3.  х2+4х…=0

Вызывает трех учащихся и каждому задание:

1. Подобрать такое с, чтобы уравнение имело 2 корня;

2. Подобрать такое с, чтобы уравнение не имело корней;

3. Подобрать такое с, чтобы уравнение имело один единственный корень;

Затем, учитель вызывает еще двух учащихся и дает задание: решить  получившиеся уравнения 1.  и  3.

С помощью теоремы Виета найти корни уравнения:

x2 – 7x + 10 = 0

х2 – 2х – 24 = 0

x2 - 7x + 12 =0

x2 + x — 12 =0

x2 - 11x + 18 = 0

Мотивационный этап.

Цель: заинтересовать  учащихся в изучении данного понятии, показать необходимость умения решать биквадратные уравнения.

  Метод: частично-поисковый.

Форма: беседа

Исторические сведения:

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.. Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 г., но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 г. вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство».

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленныеГалуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0,

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари.

Схема метода Феррари.

a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0, (1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем .

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью переменной

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Этап первый. Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0,  (2)

где a, b, c, d – произвольные действительные  числа.

Т. к. из уравнения (2) нужно получить уравнение, в котором будет отсутствовать член с третьей степени переменной, необходимо подобрать и сделать замену (искусственную). Путем подбора Феррари вводит следующую замену:

, где у – новая переменная,

тогда уравнение (2) принимает вид

  (3)

Если ввести обозначения

то уравнение (3) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Рассмотрев частный случай, q=0, получаем уравнение вида:

y4 + py2 + r = 0

Основная часть.

Цель: - введение понятия биквадратного уравнения

  - распознавание биквадратного уравнения

  - обучение решению биквадратного уравнения

Метод: объяснительно иллюстративный

Форма: фронтальная

Определение биквадратного уравнения:

Уравнение вида ax4+bx2+c=0, гдеа≠0, являющееся квадратным относительно x2,называют биквадратным уравнением.

Предписания:

Для того чтобы уравнение являлось  биквадратным необходимо:

чтобы оно было уравнением чтобы оно было квадратным уравнением относительноx2 чтобы уравнение имело вид  ax4+bx2+c=0, гдеа≠0

Распознавание биквадратного уравнения:

Задание: Являются ли данные уравнения биквадратными и почему?

Учитель	Предполагаемый ответ
х4+3х2-4>0	Нет, это неравенство
3х4 - 28х + 9 = 0	Нет, оно не квадратное относительно х2
x4 + 15x2 + 50 = 0	Да, так как является уравнением, оно квадратное относительно х2 и коэффициент при х4не равен 0.
(x2-3)2 - (x2+4x)2= 0	Нет, так как коэффициент при х4=0
9х4 - 6х2 - 3 = 0	Да, так как является уравнением, оно квадратное относительно х2 и коэффициент при х4не равен 0.

Обучение решению биквадратного уравнения

Для начала решим  биквадратное уравнение. (Учащиеся у себя в тетрадях, учитель - у доски), затем составим общую схему решения биквадратных уравнений.

Пример: х4+3х2-4=0

Решение: Представим  х4 как, тогда уравнение приобретет следующий вид:

+3х2-4=0. Данное уравнение квадратное относительно . Тогда введем новую переменную: , где y

y2+3y-4=0

Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, y=1 – корень уравнения. А по теореме Виета найдем второй корень:

посторонний корень, т. к. y

Сделаем обратную замену:

х1=1  х2=-1

Ответ: -1,1.

Биквадратное уравнение: ax4+bx2+c=0
Способ решения:
1.	Сделать замену переменной	x2=t
2.	Получить:	at2+bt+c=0
3.	Найти корни квадратного уравнения
4.	Обратная подстановка
5.	Если t < 0 Если t > 0 Если t = 0	корней нет = x = 0
Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений

Номера, решаемые учащимися у доски:

Учитель	Учащиеся
Учитель  вызывает учащихся по одному к доске. Учитель ходит по классу и следит за работай в классе и выполнением задания. Контролирует работу учащегося, отвечающего у доски.	Учащийся выходит отвечать к доске. Остальные работают самостоятельно в тетрадях.

- № 000 а), б)

-№ 000 в), г)

-280 а)

№ 000 Решите биквадратное уравнение:

а)

Пусть ,yтогда

D=25+144=169

х1=3  х2= - 3

Ответ: -3,3.

б) -6

Пусть ,yтогда

По теореме Виета:

=2 

Ответ:

№ 000 Найдите корни биквадратного уравнения:

в) 

Пусть ,yтогда

y=2

Ответ:, .

г)

Пусть ,yтогда

По теореме Виета:

Ответ:-

№ 000 Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а)

С осью ОХ: y=0

Пусть ,тогда

Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, a=1 – корень уравнения. А по теореме Виета найдем второй корень:

=1

С осью ОХ в точках:

С осью ОУ: х=0

y=0-5

С осью ОУ в точке: (0;4).

Итог урока:

Цель: закрепление нового материала.

Учитель	Предполагаемый ответ
Что  такое биквадратное уравнение?	Уравнение вида ax4+bx2+c=0, гдеа≠0, являющееся квадратным относительно x2,называют биквадратным уравнением.
Итак, сегодня на уроке мы  изучили понятие биквадратного уравнения и способ решение биквадратного уравнения. Научились применять на практике полученные знания.

Запишем домашнее задание на следующий урок:

Параграф 5, п.12 стр.75

№ 000вг,279аб,280б

Цель: закрепление, изученного на уроке нового материала.

Домашнее задание:

№ 000 Решите биквадратное уравнение:

в)

Пусть ,yтогда

y=

Ответ: корней нет.

г)) 4

Пусть ,yтогда

Сумма коэффициентов равна 0, следовательно, y=1 – корень уравнения. А по теореме Виета найдем второй корень:

=1

Ответ: .

№ 000 Найдите корни биквадратного уравнения:

Пусть ,yтогда

D=625-576=49

6

=4 

Ответ: -3,-4,3,4.

б) +14

Пусть ,yтогда

D=196-192=4

Ответ: корней нет.

№ 000 б)Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

С осью ОХ: y=0

Пусть ,aтогда

Т. к. D по теореме Виета:

С осью ОХ в точках:

С осью ОУ: х=0

y=0+3

С осью ОУ в точке: (0;-10).

Ответ: С осью ОХ в точке (0;0)

  С осью ОУ в точке: (0;-10).