Конспект урока на тему «Вывод формулы корней квадратного уравнения»
Тема урока: «Вывод формулы корней квадратного уравнения. Определение количества корней квадратного уравнения»Класс: 8 класс
Тип урока: комбинированный урок изучения новых знаний и первичного закрепления
Цели и задачи:
Обучающие:
-предоставить учащимся возможность познакомиться с понятием дискриминанта, с выводом универсальной формулы нахождения корней квадратного уравнения и изучить алгоритм решения полных квадратных уравнений по формуле, способствовать пониманию первичному закреплению алгоритма в ходе решения уравнений.
Развивающие: развивать способности учащихся к усвоению новой информации, формировать умение сравнивать, анализировать, полно и четко выражать свое мнение.
Воспитательные:
-стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
-воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда. Повышение коммуникативной - активности учащихся, формирование умения аргументировать свою точку зрения, разумно оценивать работу своего товарища.
Технические средства обучения: компьютер, проектор, презентация.
План урока
1. Организационный момент
2. Постановка цели и задач. Актуализация знаний
3. Мотивация учебной деятельности (Формулирование проблемы)
4. Первичное усвоение новых знаний
5. Первичная проверка понимания. Первичное закрепление
6. Информация о домашнем задании и инструктаж о его выполнении
7. Рефлексия. Подведение итогов урока
Ход урока
Организационный момент (3 мин). Чтение молитвы. Постановка целей и задач. Мотивация учебной деятельности. Объявление темы урока изучения нового материала: «Решение квадратных уравнений по формуле».Эпиграф к уроку: Невозможно избавиться от чувства, что математические формулы живут собственной жизнью и обладают собственным разумом, что они умнее нас, умнее даже тех, кто их открыл, что мы получаем из этих формул больше, чем в них было изначально заложено.
Генрих Герц
2. Цель урока получить формулы для корней квадратного уравнения, научиться определять количество корней в квадратном уравнении, понять универсальный алгоритм решения квадратных уравнений.
Актуализация знаний учащихся (10 мин).
1. Фронтальная работа с классом - опрос. Нам необходимо вспомнить теоретический материал по изученной теме «Квадратные уравнения» (что мы уже умеем и знаем):
- Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение?
- Какие уравнения мы называем квадратными? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
- Какие бывают квадратные уравнения?
- Каким способом мы умеем решать полные квадратные уравнения?
2. Работа с доской. В тетрадях число и классная работа.
1) Устно. Сколько корней имеет уравнение : х - 5 = х - 5; х2 =4; 2х+1=0; 3х2 =-9;
(2x-3)2=0 ?
2) Решите уравнение: а) 3х2-27=0; б) (х+1)2=16; в) 2х2 =-70; г) х2 =0.
3) Решите квадратное уравнение: а) х2 -4х+4=0; б) x2 +6x+9=0
4. Изучение нового материала (15 мин)
На предыдущих уроках мы выяснили, что для решении квадратных уравнений нужно выделять полный квадрат двучлена. Проблемная ситуация: неужели нам для решения квадратных уравнений необходимо каждый раз пользоваться этим методом: сначала преобразовывать уравнение к приведенному виду, затем решать с помощью выделения полного квадрата? Чтобы постоянно не выполнять таких преобразований, достаточно один раз выполнить эти преобразования для общего вида квадратного уравнения и получить формулу корней квадратного уравнения. Далее эту формулу можно применять для решения любого квадратного уравнения.
Выведем эту формулу.
Для этого решим квадратное уравнение 
. Разделим все члены уравнения на старший коэффициент а (напомним, что 
) и получим равносильное приведенное квадратное уравнение 
. В левой части уравнения выделим квадрат двучлена: 
или 
.
Введем новую переменную 
и получим неполное квадратное уравнение: 
, или 
, или 
. Так как 
, то 
– положительное число. Поэтому знак дроби 
определяется знаком ее числителя 
. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения 
(«дискриминант» по латыни означает «различитель», «определитель»). Его обозначают буквой D, т. е. 
.
Тогда уравнение имеет вид 
.
Рассмотрим теперь различные возможные случаи этого решения в зависимости от D.
1) Если D>0, то уравнение имеет два противоположных по знаку корня 
и 
. Вернемся к переменной x и получим два линейных уравнения:
(откуда корень 
) и 
(откуда корень 
Таким образом, в случае D > 0 квадратное уравнение 
имеет два различных корня: 
и 
.
Принята следующая кратная запись корней 
, где 
, которую называют формулой корней квадратного уравнения.
2) Если D = 0, то уравнение 
примет вид 
. Это уравнение имеет единственный корень (или два одинаковых корня) z=0. Вернемся к старой неизвестной x и получим линейное уравнение 
, корень которого 
. (Обратить внимание, что также можно воспользоваться формулой случая 1)
3) Если D < 0, то уравнение 
не имеет корней, т. к. дробь 
. Следовательно, при D < 0 квадратное уравнение 
не имеет корней.
Таким образом, в зависимости от дискриминанта 
квадратное уравнение
может иметь: два различных корня при D > 0, единственный корень (или два одинаковых корня) при D = 0 и не иметь корней при D < 0.
Удобно показать эти случаи в виде таблицы:
Дискриминант | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
Корни квадратного уравнения | Два различных корня | Два равных корня (или один корень) | Нет корней |
Итак, при решении квадратного уравнения поступают следующим образом.
Алгоритм решения уравнения 
:
1) Вычислить дискриминант квадратного уравнения;
2) Сравнить дискриминант с нулем;
3) Если дискриминант 
, то использовать формулу корней (или приведенную таблицу), если дискриминант D < 0, то в ответе записывают, что корней нет.
5. Первичная проверка понимания, первичное закрепление (12 мин)
Привести пример решения квадратных уравнений
Пример 1.
7x2 + 3x + 5 = 0
а =7, b = 3, с = 5
D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 ∙ 7 ∙ 5 = 9 - 140 = 131, D < 0, уравнение корней не имеет
Ответ: нет корней.
Пример 2.
4x2 - 12x + 9 = 0
а = 4, b = - 12, с = 9
D = b2 – 4ac = (-12)2 – 4 ∙ 4 ∙ 9 = 144 - 144 = 0, D = 0, уравнение имеет 1 корень
x = 1,5
Ответ: 1,5
Пример 3.
5x2 – 4x – 1 = 0
а = 5, b = - 4, с = -1
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 ∙ 5 ∙ (-1) = 16 + 20 = 36, D>0, уравнение имеет 2 корня
x1 = 1
x2 = - 0,2
Ответ: - 0,2; 1
Первичное закрепление
1. Решение квадратных уравнений (работа в парах). Решите уравнение: 3х2-5х-2=0
2. Работа у доски по учебнику № 000(а, в), 436 (а, в), дополнительно - карточки
7. Подведение итогов урока (5 мин)
Домашнее задание. П.3.2, № 000(б, г), 436(б, г).
Итог урока.
• Какая была цель нашего урока?
• На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения?
• Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?
• Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то что можно сказать о выражении, стоящем в левой части уравнения?
Рефлексия
-Поднимите руку, кто все понял на уроке
-Поднимите руку, у кого возникали трудности при разборе новой темы.
-Кто лучше всех работал на уроке?
-Вы все получите отметку за урок, которая будет складываться из вашей парной работы, а так же индивидуальной работы каждого.
Выставление оценок учащимся с комментариями.
-Всем спасибо за урок!
