УДК 517.977.56
ЗАДАЧа оптимального управления с фазовыми ограничениями В ДИСКРЕТНЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ
ИБРАГИМОВ У. М., АБДИЕВА З. А., ЛЕСБАЕВ А. У.
В статье доказываются необходимые и достаточные условия слабой инвариантности замкнутого множества в дифференциальных включениях, существование оптимального управления и построение ядра живучести области выживания.
Ключевые слова: экстремальная задача живучести, принцип максимума Понтрягина, ядро живучести, область живучести, достаточные условия эффективности.
1. Введение. Задача живучести относится к типу задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. Для таких задач принцип максимума Понтрягина сложно устроен и труден в применении, кроме того, он может вырождаться.
С проблемой живучести связаны следующие задачи, каждая из которых представляет самостоятельный интерес [1]:
- установление существования оптимального управления; выяснение слабой инвариантности области выживания; проверка не пустоты ядра живучести области выживания; построение ядра живучести области выживания; определение выживающих траекторий для начальных точек из ядра живучести; нахождение оптимальных траекторий для начальных точек, не принадлежащих ядра живучести.
II. Постановка задачи. Рассматривается дискретное включение
(1)
где 
– номер шага, 
– фазовый вектор, 
– многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой точке 
непустое подмножество 
.
Под решением включения (1) понимается всякая последовательность 
, удовлетворяющая включению (1) при всех 
.
Через 
обозначим совокупность всех решений включения (1), удовлетворяющих начальному условию 
.
Пусть в 
выделено непустое подмножество G, называемое областью выживаемости. Для начальной точки 
и траектории 
через
:= 
обозначим первый номер шага, когда 
, т. е.
Экстремальная задача живучести (в области G) или, задача избежания столкновений (с множеством 
) для начальной точки 
ставится следующим образом:
(2)
Траектория 
называется решением или оптимальной траекторией задачи (2), если
{ 
}
Определение 1. Множество 
называется слабо инвариантным относительно включения 
если для любой точки 
существует траектория 
при 
для всех 
, т. е.
.
Такая траектория называется выживающей траекторией.
Определение 2. Максимальное подмножество множества 
, слабо инвариантное относительно включения 
называется ядром живучести множества Z относительно включения 
и обозначается 
.
Инвариантные множества управляемых систем рассматривались многими авторами. Отметим, например, работы [2,3].
III. Результаты:
Слабая инвариантность области выживания. Следует отметить, что доказательство необходимого и достаточного условия слабой инвариантности замкнутого множества в дифференциальных включениях очень сложно [4]. В случае дискретного включения аналогичный результат легко получается.
Теорема 1. Для того чтобы множество G было слабо инвариантным относительно включения 
необходимо и достаточно, чтобы для любого 
пересечение 
было непусто.
Доказательство. Доказательство достаточности вытекает из того, что любая траектория дискретного включения
является выживающей.
Покажем необходимость. Пусть G – слабо инвариантно. Тогда по определению слабо инвариантного множества для любой точки 
существует траектория 
такая, что 
для всех 
. В частности, 
и 
. Отсюда, 
для любой точки 
. Теорема доказана.
Всюду в дальнейшем предполагается, что G – замкнутое непустое подмножество 
и многозначное отображение 
полунепрерывно сверху, кроме того, при каждом 
значение 
компактно.
Существование оптимального управления и построение ядра живучести. Для любого 
положим
{
Ш}
Построим последовательность множеств 
по рекурентной формуле
и введем множество
Лемма 1. Если 
– замкнуто, то 
также замкнуто.
Доказательство. Пусть 
– замкнутое подмножество 
. Возьмем произвольную последовательность {
} со значениями из 
, сходящаяся к некоторой точке 
при 
. По определению оператора имеем 
Ш для всех 
. Далее в силу полунепрерывности отображения 
для любого 
. Существует номер 
такой, что 
при всех 
, где 
. Следовательно,
Ш для всех 
.
Возьмем произвольную последовательность положительных чисел 
, монотонно убывая стремящеяся к 0 при 
.
Пусть 
. Тогда, 
для всех 
. Поэтому из последовательности 
можно выделить сходящегося последовательность {
}, которая сходится к некоторой точке 
при 
. Поскольку 
– замкнуто, то 
. С другой стороны,
при всех 
.
Поэтому,
для всех 
.
Далее, согласно лемме 1* [5] имеем
Лемма доказана.
В следующей теореме устанавливается замкнутость ядра живучести замкнутого множества, и предлагается новый метод построения ядра живучести.
Теорема 2. Ядро живучести множества 
замкнуто и оно совпадает с множеством 
.
Доказательство. Согласно лемме 1 каждое из множеств 
, 
, замкнуто, и следовательно множество 
также замкнуто, как пересечение замкнутых множеств.
Теперь докажем справедливость равенства 
Покажем, что
(3)
Предположим противное. Тогда 
Ш, для некоторого 
, т. е.
Поскольку множество 
- компактно, а множества 
– замкнутые и монотонно убывающие, то
для некоторого 
.
Следовательно, 
Ш. Значит, 
. Таким образом, 
. Тем самым равенство (3) доказано.
Далее, согласно теореме 1 имеем
(4)
поскольку 
.
Возьмем произвольную точку 
. Тогда 
для некоторого 
. Возьмем произвольную траекторию 
, следовательно 
.
Пусть 
для некоторого 
.
Тогда согласно определению оператора 
имеем
Ш.
Отсюда 
, поскольку 
Таким образом, согласно методу математической индукции, получим
=G.
Отсюда 
для любой траектории 
, и следовательно
Таким образом
(5)
Учитывая (5) и (6) , получим, что
.
Теорема доказана.
IV. Выводы. В статье получены достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для задачи живучести дискретного включения. Рассмотренные задачи связаны с построением оптимальных траекторий для начальных точек из ядра живучести, получением необходимой и достаточной условии непустоты ядра живучести области выживания и каждая из них требует дополнительные исследования.
ЛИТЕРАТУРА
1. , Численное моделирование задачи живучести в управляемых системах. – LAP LAMBERT Academic Publishing. – Germany, 2012. – 72 c.
2. Feuer A., Heymann J. Щ – invariance in control systems with bounded controls // J. Math. Anal. and App. 1976. – Vol. 53, No. 2. – P. 266-276.
3. Aubin J.-P. A survey of viability theory // SIAM J. Control and Optim. 1990. – Vol. 28. No. 4. – P. 749-788.
4. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusions with memory // Israil J. Math.1981. – V.39.No.1-2. – P. 83-100.
5. втором методе Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Матем. сб. 1982, T.118. – №3. – С. 422-430.
ИБРАГИМОВ О. М., АБДИЕВА З. А., ЛЕСБАЕВ А.Ө. ДИСКРЕТТІ ЕНГІЗУЛЕРДЕГІ ФАЗАЛЫҚ ШЕКТЕУЛЕРІ БАР ОПТИМАЛДЫ БАСҚАРУ ЕСЕБІ
Мақалада дискрет енгізілгенге қойылған амандық есебі зерттелген. Әлсіз инварианттылықтың қажетті және жеткілікті шарты алынған және амандық ядросының тұйықтылығы туралы теорема дәлелденген.
Кілт сөздер: амандықтың экстремальды есебі, Понтрягиннің максимум принципі, амандық ядросы, амандық аумағы, тиімділіктің жеткілікті шарттары
Abstract: In the article the necessary and sufficient conditions of weak invariance of the reserved set in the differential inclusions are proved, existence of optimum management and construction of core of vitality of region of survival.
Keywords: extremal problem survivability, Pontryagin maximum principle, the kernel survivability area survival, sufficient optimality conditions
