–гамильтоновы уравнения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы

ГОУ ВПО “Российский университет дружбы народов”, *****@***ru

Краткая аннотация – Исследован вопрос о представимости заданного операторного уравнения с первой производной по времени в форме -гамильтонового уравнения.

Ключевые слова – уравнения движения, системы с бесконечным числом степеней свободы, -гамильтоновы уравнения.


Введение

Распространение математических методов исследования движения конечномерных систем на случай систем с бесконечным числом степеней свободы не является тривиальной задачей. До некоторого времени не существовало единого мнения о том, что считать истинной формой уравнений Гамильтона для систем с бесконечным числом степеней свободы. Начало правильного понимания этого вопроса, связанное с определением соответствующей скобки Пуассона, было заложено в работах [1,2], во многом способствовавших развитию дальнейших исследований по неканоническим уравнениям Гамильтона. В этой связи следует также отметить работу [3], в которой определены - гамильтоновы системы.

Постановка задачи

  Пусть уравнения движения материальной системы представлены в операторном виде

    (1)

Здесь оператор является линейным; – произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный; – область определения оператора ,

    (2)

- действительные линейные нормированные пространства, Множество определяется внешними связями, наложенными на систему.

Предположим, что нелокальная билинейная форма

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

    (3)

является симметрической и невырожденной.

В дальнейшем для упрощения обозначений будем записывать (1) в виде

считая, что операторы и зависят также и от .

Операторное уравнение движения (1) может быть обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнением в частных производных, интегро-дифференциальным уравнением и др., а также системой таких уравнений.

  Сформулируем задачу следующим образом: представить заданное уравнение движения в форме  –гамильтонового уравнения.

Основные результаты

Определение. Линейный оператор называется -гамильтоновым (относительно билинейной формы если существует оператор выполнены условия 

   

Уравнение вида

    (4)

где является -гамильтоновым оператором, будем называть -гамильтоновым уравнением.

  Теорема 1. Пусть   на Оператор (1) является - потенциальным на (2) относительно билинейной формы (3) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия на  

  (5) 

  (6) 

  (7)

  Теорема 2.  Условия (5) - (7) выполняются тогда и только тогда, когда

где

- фиксированный элемент из .

  Теорема 3. Пусть   на - линейный обратимый оператор, не зависит явно от . Уравнение (1) представимо в виде -гамильтонового уравнения (4) тогда и только тогда, когда его оператор является - потенциальным на (2) относительно билинейной формы (3).

  В данном случае -гамильтонов оператор и гамильтониан имеют вид

Выводы

В работе получены условия -потенциальности оператора вида (1), в терминах необходимых и достаточных условий определена структура заданного  уравнения движения в случае -потенциальности его оператора, операторное уравнение с первой производной по времени (1) представлено в форме -гамильтонового уравнения.

Литература

1. , Уравнение Кортевега – де Фриза – вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его прил. - Т. 5. - Вып. 4. - 1971. - С. 18-27.

2. Gardner C. S. Korteweg – de Vries equation and generalizations. IV. The Korteweg – de Vries equation as a Hamiltonian system // J. Math. Phys. -  V. 12. – 1971. -  Pp. 1548-1551.

3. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. М.: Изд-во УДН, 1991. 237 стр.

-hamiltonian equations in mechanics of systems with infinite number of degrees of freedom

Budochkina S. A.

Russian Peoples’ Friendship University, *****@***ru

Abstract – The given operator equation of motion with the first derivative with respect to time is represented in the form of - Hamiltonian equation.

Кеу words – equations of motion, systems with infinite number of degrees of freedom, - Hamiltonian equations.