Задание

Найдем максимальное и минимальное значения целевой функции на области планов. Рассмотрим произвольную линию уровня, например, f(X)=x1+4x2=4 . Прямую f(X) построим по точкам (4;0) и (0;1). Направление наискорейшего возрастания указывает вектор grad f(X)=(1;4).

Для определения максимума целевой функции на области планов нужно параллельным переносом сдвигать прямую f(X)=x1+4x2=4 в направлении grad f(X). По рисунку можно определить, что целевая функция максимальна  в точке A,  т. е. fmax=f(A). Точка A образована  пересечением прямых (2) и (3); найдем ее координаты:

x1 – x2  = -1        =>        3x1=3                =>  x1=1

2x1 + x2 = 4                                 x2=2        

A(1;2).

На оптимальном плане Х*=(1;2) достигается fmax=f(X*)=1+4∙2=9.

Для определения наименьшего значения f(X) на области планов нужно параллельным переносом сдвигать прямую f(X)=x1+4x2=4 в направлении, противоположном grad f(X). Наименьшее значение целевой функции  достигается в точке, являющейся пересечением осей координат, т. е. fmin=f(O).

На оптимальном плане Х*=(0;0) достигается fmin=f(X*)=0.