Практическая работа №10
Создание моделей экспериментальных установок для удержания
и нагрева плазмы. Модель независимых частиц.
Цель работы: Разработка программы для моделирования плазмы в магнитных ловушках различных типов (на примере пробкотрона).
До сих пор мы рассматривали на численных моделях отдельные физические процессы и явления. Следующий этап – разработка модели экспериментальной установки – является более сложной задачей, поскольку нам придется «строить» установку из нескольких блоков и изучать не одно, а совокупность явлений.
Рассмотрим этапы построения модели плазмы в пробкотроне. Хотя мы уже имеем информацию о пробкотроне и уже использовали визуализированную программу движения электронов в пробкотроне, речь пойдёт о более сложной системе – плазме. В этом случае, кроме внешних полей, действующих на частицы, мы должны учесть собственные поля, возникающие в плазме, что является достаточно сложной задачей.
Но прежде всего мы должны рассчитать внешние поля, действующие на частицы, исходя из параметров проектируемой установки.
Задаем основные параметры экспериментальной установки:
- размер цилиндрической вакуумной камеры – длина L=8 см, диаметр D=12 см; частота СВЧ генератора f=2.45 ГГц; амплитуда напряженности электрического СВЧ поля E=0.5кВ/см (может варьироваться); начальная плотность плазмы
(может варьироваться); Этапы разработки модели
На первом этапе мы должны рассчитать магнитное и электрическое поля.
Расчет магнитного поля ловушки
Поле магнитных катушек можно рассчитать по аналитическому выражению для параксиального приближения
,
,
где 
магнитное поле в центре ловушки, l – параметр, определяющий пробочное отношение магнитной ловушки, или с помощью программы для расчета магнитных полей осесимметричных катушек.
Расчет электрического поля
В резонаторе возбуждается мода TE111. Зависимость электрического поля по радиусу рассчитывается с помощью функций Бесселя, однако мы аппроксимируем электрическое СВЧ поле следующим образом:
,
где h – высота вакуумной камеры, ω - частота СВЧ поля. Вектор напряженности электрического СВЧ поля направлен вдоль оси X (или Y).
На втором этапе мы должны написать программу для решения уравнения движения заряженных частиц.
Движение заряженных частиц (схема Бориса)
В целях оптимизации решения уравнения движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях любых пространственно-временных конфигураций разрабатываются специальные алгоритмы. Наиболее удачной (наименьшее число арифметических операций на один шаг интегрирования уравнения движения) является схема Бориса. Дадим её краткое описание.
Центрированная разностная схема уравнения движения заряженных частиц имеет следующий вид
, (1)
где 
- соответственно заряд и масса покоя электрона, 
- напряженность высокочастотного электрического поля, 
- индукция магнитного поля, 
- временной шаг, верхние индексы обозначают номер временного шага.
Следуя методу, предложенному Борисом, введем 
и 
так, что
, (2)
. (3)
Тогда для перехода от 
к 
можно использовать алгоритм малого числа арифметических шагов и настолько мало арифметических регистров, насколько это возможно в оптимизированной программе движения частиц
(4)
,
где 
, a 
. (5)
Для релятивистского обобщения вместо скорости частицы используется импульс 
.
Конечно-разностный аналог уравнения (1) в безразмерной форме в релятивистском случае имеет вид:
, (6)
где u - импульс электрона в единицах m0c, 
безразмерное электрическое СВЧ поле в момент времени n, bn – безразмерное магнитное поле, нормированное на 
, γ - релятивистский фактор, τ=ωt - безразмерное время, Δτ - временной шаг.
Прибавление импульса электрических сил производится без изменений
(7)
(8)
В релятивистком случае схема (4) остается без изменений, за исключением введения релятивистского фактора в выражение (5), которое имеет в безразмерной формке следующий вид:
, (9)
где 
, a 
.
Координаты частицы нормированные на релятивистский радиус циклотронного вращения электрона 
пересчитываются в соответствии с равенством
, (10)
где 
. Эта процедура обратима и приводит к погрешности второго порядка в определении траектории частицы.
Последовательность реализации схемы Бориса:
Прибавление половины импульса электрических сил к импульсу частицы в момент времени n-1/2
(11)
(12)
.
(13)
(14)
Когда мы освоим схему Бориса и научимся задавать внешние поля, можно перейти к моделированию плазмы.
Тестирование схемы Бориса
Однородное магнитное поле. СВЧ отключено.
Для тестирования схемы Бориса зададим однородное магнитное поле, направленное вдоль оси Z и инжектируем электрон поперёк оси Z.
1. Величину индукции магнитного поля выбрать в интервале 200-1000 Гс.
2. Энергия электрона – 1.0-10 кэВ
3. Временной шаг интегрирования уравнения движения выбрать равным 1/200 периода вращения электрона.
4. Проверить сохранение энергии электрона, радиуса циклотронного вращения на протяжении 2000 периодов вращения электрона.
Неоднородное магнитное поле. СВЧ отключено.
Задать магнитное поле пробкотрона, используя аналитическое выражение. Изучить движение электрона в пробкотроне, задавая различные величины пробочного отношения, энергии электрона, его начальных координат.Однородное магнитное поле. СВЧ включено.
Задать однородное магнитное поле соответствующее резонансному значению для частоты 2.4 ГГц. Задать амплитуду напряженности СВЧ поля в интервале 0.3-3.0 кВ/см. Определить зависимости максимальной энергии, достигаемой электроном, и частоты осцилляций энергии от времени.Неоднородное магнитное поле. СВЧ включено.
Задать пробочное отношение в интервале 1.05<R<1.5. Задать амплитуду напряженности СВЧ поля в интервале 0.3-3.0 кВ/см. Изучить зависимости энергии электрона и скорости дрейфового движения от начальных координат электрона.Индивидуальные задания (можно выполнять вдвоём)
Индукция магнитного поле в центре системы равно 800 Гс. Пробочное отношение R=1.5. Амплитуда напряженности СВЧ поля 1 кВ/см, частота 2.45 ГГц. Моделируется 13 электронов, расположенных на оси камеры симметрично центра в интервале от -3 см до 3 см. Начальная энергия электронов близка к нулю. Изучить взаимодействие электронов с СВЧ полем в условиях ЭЦР. Объяснить полученные результаты. Индукция магнитного поле в центре системы равно 950 Гс. Пробочное отношение R=1.4. Амплитуда напряженности СВЧ поля 1 кВ/см, частота 2.45 ГГц. Моделируется 17 электронов, вдоль оси Y в интервале от -4 см до 4 см, Z=0. Начальная энергия электронов близка к нулю. Изучить взаимодействие электронов с СВЧ полем в условиях ЭЦР. Электрон аксиально инжектируется в камеру (ТЕ111, 2.45 ГГц). Пробочное отношение R=1.3, магнитное поле в центре системы равно резонансному значению для электрона с массой покоя. В эксперименте создаются условия гиромагнитного авторезонанса (ГА). Найти интервал энергий инжекции и интервал величин напряженности электрического СВЧ поля, при которых электрон захватывается в режим ГА. Объяснить полученные результаты. Электрон с энергией 3 кэВ находится в центре камеры (ТЕ112, 2.45 ГГц), имея только аксиальную компоненту скорости. Изучить движение электрона в условиях ЭЦР. При какой величине напряженности СВЧ поля и каком пробочном отношении электрон достигает максимальной энергии и высаживается на торцевую стенку камеры (речь идёт о реализации гиромагнитного авторезонанса в нарастающем в пространстве магнитном поле)? Определить энергию электрона и его начальные координаты, если в магнитном поле с пробочным отношением R=1.5 частота его баунс колебаний в 10 раз больше частоты азимутального дрейфа. Как зависит частота азимутального дрейфа электрона от его координат и энергии? СВЧ поле отключено. В вакуумную камеру (12х8 см, ТЕ111, 2.45 ГГц, Е=300 В/см) в медианной плоскости камеры введена мишень на глубину 2 см. Какое пробочное отношение необходимо создать и какая величина магнитного поля должна быть в центре системы, чтобы электрон в условиях гиромагнитного авторезонанса, достигнув энергии 100 кэВ, попал на мишень. Индукция магнитного поле в центре системы равна 1000 Гс. Пробочное отношение R=1.5. Амплитуда напряженности СВЧ поля 600 В/см (поляризация линейная), частота 2.45 ГГц. Определить интервал начальных координат электронов, при которых они в условиях ЭЦР достигают энергии более 10 кэВ. Возможно ли достижение энергии электрона 20 кэВ и более? Если да, то при каких условиях? Электрон с энергией 511 кэВ находится в условиях гиромагнитного авторезонанса. Индукция магнитного поле в центре системы (12х8 см, ТЕ111, 2.45 ГГц, R=1.5) равна 1000 Гс. Напряженность СВЧ поля Е=1 кВ/см. Определите возможные координаты электрона. Задайте условия эксперимента, которые позволили бы снизить энергию электрона до 50 кэВ.