Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия № 43 муниципального образования городской округ Люберцы Московской области
Выступление на
Методическом объединении гимназии
«Задачи ЕГЭ. Теория вероятностей»
Учитель математики
Первой категории
январь, 2016 г.
Теория вероятностей – это математическая дисциплина, изучающая закономерности, происходящие в массовых однородных случайных явлениях и процессах.
Исторически зарождение и развитие теории вероятностей связано с азартными играми, в которых требовалось обосновать то или иное решение.
Целью современной теории вероятностей является выявление общих закономерностей, а также описание физических явлений с помощью абстрактных моделей.
Алгебра событий.
Одним из основных понятий теории вероятностей является опыт. Простейшие неразложимые результаты опыта называются элементарными событиями. События обычно обозначают латинскими буквами А, В, С и т. д. События А и В несовместны, если в результате одного опыта они не могут происходить одновременно, ив противном случае – совместны. Например, при одном подбрасывании монеты не могут одновременно появиться герб и решетка. Несколько событий равновозможны, если ни одно из них не имеет объективного преимущества перед другими. События А1, А2 … АN образуют полную группу, если в результате опыта кроме этих событий ничего не может произойти.
Над событиями вводятся операции, совпадающие с операциями над множествами: сумма, произведение, отрицание.
Суммой событий А и В называется такое третье событие А+В, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: или А, или В.А В А В
События несовместны События совместны
Произведением двух событий А и В называется такое третье событие АВ, которое заключается в наступлении событий А и В одновременно. Если события несовместны, то А*В= Ө (пустое множество)А В А В
События несовместны События совместны.
3. Отрицанием события А называется событие Г, заключающееся в наступлении события А (А+Г=Ω, А*Г=Ώ). Причем, если в результате опыта может произойти событие А, то может произойти и обратное ему событие Г.
А Г
Г - отрицание события А.
Укажу несколько теорем, которые помогут решить данный тип задач: определить вероятность того, что будет гореть хотя бы две лампочки из трех.
Теорема 1: Вероятность суммы двухнесовместных событий А и В равна сумме их вероятностей: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Теорема 3: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В).
Теорема 4: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности наступления события А на условную вероятность события В при условии, что событие А уже произошло: Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А).
Задача: Определить вероятность того, что будет гореть хотя бы две лампочки из трех. Вероятность того, что лампа горит, равна 0,8.
Для решения этой задачи нам поможет курс информатики «Двоичная система счисления».
Горящую лампочку обозначим 1, не горящую 0.
Тогда перед нами предстанет следующий набор событий:
1 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 0 | 1 |
3 | 0 | 1 | 0 |
4 | 0 | 1 | 1 |
5 | 1 | 0 | 0 |
6 | 1 | 0 | 1 |
7 | 1 | 1 | 0 |
8 | 1 | 1 | 1 |
Всего 8 различных событий.
Если вероятность того, что горит лампочка А=0,8, тогда не горит лампочка Г=1-0,8;
Г=0,2.
Рассмотрим первый случай, когда не горит ни одна лампочка. Его вероятность 0,2*0,2*0,2=0,008.
Рассмотрим второй случай, когда горит лампочка справа:
0,2*0,2*0,8=0,032. Но таких событий, когда горит одна лампочка из трех всего три. Тогда результат данного события умножим на 3 (это 2, 3 и 5 случай) 0,032*3=0,096.
Далее, когда горят две лампочки: 0,2*0,8*0,8=0,128. Всего три таких случая (это 4, 6, 7) 0,128*3=0,384.
И последний случай, это когда горят все три лампочки: 0,8*0,8*0,8=0,512.
В итоге у нас будет следующее выражение:
0,2*0,2*0,2+0,2*0,2*0,8*3+0,2*0,8*0,8*3+0,8*0,8*0,8=1
В задаче надо найти вероятность того, что будут гореть хотя бы 2 лампочки. Следовательно, из этой суммы надо исключить вероятность, когда горит одна лампочка или не горит ни одна.
1-(0,2*0,2*0,2+0,2*0,2*0,8*3)=0,96. Ответ: 0,96
Для закрепления данного метода решения, прошу вас определить следующие вероятности а) будет гореть хотя бы одна лампочка; б) не будет гореть ни одна лампочка.
Задачи для закрепления:
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено три билета. Какова вероятность выиграть хотя бы по одному из них? В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) два из них совершат покупки; б) все три совершат покупки; в) ни один не совершит покупок; г) по крайней мере, два совершат покупки; д) хотя бы один купит товар. Вероятность получить высокие дивиденды, по акциям на первом предприятии – 0,2. На втором – 0,35, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.