О БИФУРКАЦИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ СПУТНИКА В ОДНОМ СЛУЧАЕ КРАТНОГО РЕЗОНАНСА НА ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ

Институт проблем механики им. РАН,  e-mail:*****@***ru

Исследована задача о существовании периодических движений спутника относительно центра масс на почти круговой орбите при резонансе 1:1:1.

Ключевые слова – твердое тело, эллиптическая орбита, резонанс, бифуркация.

Постановка задачи

Исследуется движение спутника относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Спутник считается динамически симметричным твердым телом, линейные размеры которого малы по сравнению с размерами орбиты. Орбиту центра масс спутника считаем эллиптической с эксцентриситетом . Пусть — орбитальная система координат, ось которой направлена вдоль радиус – вектора центра масс спутника, а оси и - соответственно по вектору скорости центра масс и нормали к плоскости орбиты. Оси жестко связанной со спутником системы координат направим вдоль его главных центральных осей инерции, моменты инерции относительно осей , и обозначим через , и . Ориентацию спутника в орбитальной системе координат зададим при помощи углов Эйлера . За независимую переменную примем истинную аномалию .

Угол является циклической координатой и соответствующий ей импульс постоянен. Будем предполагать, что он равен нулю. Тогда на круговой орбите () уравнения движения допускают решение

    (1)

являющееся частным случаем решения, соответствующего так называемой гиперболоидальной прецессии, когда постоянная во все время движения проекция абсолютной угловой скорости спутника на его ось симметрии равна нулю [1-3]. Для решения (1) спутник находится в положении относительного равновесия в орбитальной системе координат, причем его ось симметрии направлена вдоль вектора скорости центра масс.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если спутник динамически сплюснут вдоль оси симметрии (), то положение равновесия (1) устойчиво [1-3], а частоты малых колебаний оси симметрии в окрестности положения равновесия являются корнями уравнения

    (2)

Если , то частоты малых колебаний равны одна другой (и равны единице).

На эллиптической орбите решение (1) не существует [2,3]. Исследование задачи о движении спутника вблизи его относительного равновесия (1) приводит к необходимости анализа его вынужденных колебаний под действием внешней периодической силы с частотой равной единице. Причем, если величина равна или близка , то имеет место кратный резонанс 1:1:1, так как  частота внешнего периодического воздействия равна или близка сразу к двум частотам собственных колебаний оси симметрии.

В докладе излагаются результаты исследования нелинейной задачи о существовании - периодических по колебаний оси симметрии спутника при резонансе 1:1:1. Эксцентриситет орбиты считается малым ().

Способ исследования и полученные результаты

Исследования проводилось методом Пуанкаре [4]. В качестве малого параметра была принята величина и полагалось, что .  Установлено существование трех типов периодических колебаний. Они аналитичны относительно и переходят в положение равновесия (1),  когда стремится к нулю.

Колебания первого типа — это хорошо изученные [2] плоские нечетные по   колебания спутника. С погрешностью порядка они записываются в следующем виде:

  ,  ;    (3)

Для решений второго типа с той же погрешностью имеем

,  ;    (4)

И для решений третьего типа

  ,  ;    (5)

Число периодических колебаний каждого типа зависит от числа вещественных корней многочленов третьей степени из (3) - (5). Обозначим через и вещественные корни дискриминантов многочленов третьей степени из соотношений (3), (4) и (5) соответственно:

        (6)

Если, то существует три периодических колебаний первого типа, а если , то одно. При существует шесть периодических колебаний второго типа (учитываем двойной знак в (4)), а при два. Аналогично, при число периодических колебаний третьего типа будет равно шести, а при двум.

В плоскости в окрестности точки  ()  кривые

    ()  (7)

являются бифуркационными (кривыми разветвления). При переходе через эти кривые меняется число - периодических колебаний. При существует 5 периодических колебаний (одно первого и по два второго и третьего типов); при существует 7 периодических колебаний (три первого типа и по два второго и третьего типов); при существует 11 периодических колебаний (три первого типа, шесть второго и два третьего типов); при существует 15 периодических колебаний (три первого типа и по шесть второго и третьего типов).

Выводы

Таким образом, задача о существовании и бифуркациях колебаний спутника с периодом, равным периоду обращения его центра масс, подробно исследована. Представляет интерес довольно сложная задача об устойчивости этих периодических движений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 08 – 01 – 00363) и гранта Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ (проект НШ – 3797.2010.1).

Литература

1. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд–во МГУ.–1975.- 308с.

2. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства. Т.11. М.: ВИНИТИ.- 1978.-222 с.

3. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. Москва;Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». – 2009. – 396 с.

4. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. – 1956. – 491 с.

ON BIFURCATION OF PERIODICAL OSCILLATIONS OF A SATELLITE IN ONE CASE OF MULTIPLE RESONANCE IN AN ELLIPTIC ORBIT

Markeev A. P.

Institute for Problems in Mechanics RAS, *****@***ru

The problem of existence of periodical motions of a satellite about the mass centre in a near-circular orbit under resonance 1:1:1 is investigated.

Кеу words –  rigid body, elliptic orbit, resonance, bifurcation.