Домашняя самостоятельная работа «Чётность и нечётность»

Домашняя самостоятельная работа «Чётность и нечётность»

Базовый вариант

Закончите следующие утверждения: Произведение нескольких множителей нечётно тогда и только тогда, когда …. Произведение нескольких множителей чётно тогда и только тогда, когда …. Можно ли разменять купюру в 25 рублей на десять купюр по 1,3 и 5 рублей? Можно ли доску размером 5 Ч 5 разрезать на прямоугольники размером 1 Ч 2? Жук попал в чернильницу, стоявшую в узле листа клетчатой бумаги (со стороной клетки 1). Когда он вылез оттуда, он начал гулять по листу по сторонам клеток, оставляя за собой след, и в итоге приполз обратно в чернильницу. Поворачивал он только в узлах и ни по одной стороне не проползал дважды. Докажите, что длина нарисованной жуком линии чётна. В стоэтажном небоскрёбе испортился лифт. Теперь в нем работают только две кнопки. При нажатии на первую лифт поднимается на 8 этажей, при нажатии на вторую – опускается на 6 этажей. Можно ли попасть с первого этажа на 98-й этаж? Трое ребят играют в слова. Каждый записывает по сто слов. После этого записи сравнивают. Если слово встретилось у всех троих, за него дают 0 очков, если у двоих – каждый получает 1 очко, если у одного – он получает 4 очка. Может ли в результате один набрать 161, второ1 180, а третий 286 очков? На доске написано несколько плюсов и минусов. Разрешается стереть любые два одинаковые знака и написать вместо них плюс или стереть два разных знака и написать минус. Эта операция повторяется, пока на доске не останется один знак. Докажите, что это последний знак не зависит от порядка операций. С набором из пяти чисел, каждое из которых равно 1 или -1, разрешено производить следующую операцию: менять знаки у каких-нибудь двух чисел. Можно ли из набора {1, -1, -1, 1, 1} получить {-1, 1, 1, 1, 1}? В отделении полиции служат 100 человек. На дежурство они ходят по трое. Может ли в некоторый момент оказаться, что каждый дежурил с каждым ровно один раз? Конь вышел с поля а1 (левое нижнее поле шахматной доски) и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов. Конь вышел с поля а1 (левое нижнее поле шахматной доски) и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов. Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8 (правое верхнее), побывав по дороге на всех полях ровно по одному разу? Докажите, что нельзя провести прямую так, чтобы она пересекала все стороны (невыпуклого) 425-угольника и не проходила через его вершины. Саша, Боря и Игорь участвовали в забеге. Игорь задержался на старте и выбежал последним, а Боря – вторым. Во время бега Игорь шесть раз менялся местами с другими участниками, а Саша – пять раз. Боря финишировал раньше Саши. В каком порядке финишировали спортсмены? Докажите, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину. Все кости домино выложены в цепочку по правилам игры. На одном конце оказалась пятерка. Что может быть на другом конце? Из набора домино выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости выложить в цепочку по правилам? На столе лежит стопка пятаков друг на друге. Сверху – орёл, а стол касается решка. Докажите, что число пар монет, лежащих орлом на орле, равно числу пар монет, лежащих решкой на решке. После бала, где участвовали 5 юношей и 5 девушек, каждый участник назвал количество танцев, в которых он участвовал (все танцы парные). Ответы были такие: 7, 7, 5, 8, 6, 6, 9, 8, 9, 10. Докажите, что кто-то ошибся. Можно ли нарисовать на плоскости девять отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя; с четырьмя другими? В однокруговом турнире по матбоям участвовали 16 команд из 16 разных школ. Каждый бой проходил в одной из школ-участниц. Могло ли случиться так, что каждая команда сыграла во всех школах, кроме своей?