ЕГЭ 2016 №14

ЕГЭ 2016 №14

Угол между прямыми

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре най­ди­те угол между вы­со­той тет­ра­эд­ра и ме­ди­а­ной бо­ко­вой грани . В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те угол между пря­мы­ми SB и CD. Длины всех ребер пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны между собой. Най­ди­те угол между пря­мы­ми и если от­ре­зок — вы­со­та дан­ной пи­ра­ми­ды, точка — се­ре­ди­на ее бо­ко­во­го ребра Точка — се­ре­ди­на ребра куба . Най­ди­те угол между пря­мы­ми и На ребре куба от­ме­че­на точка так, что Най­ди­те угол между пря­мы­ми и Точка — се­ре­ди­на ребра куба Най­ди­те угол между пря­мы­ми и Точка — се­ре­ди­на ребра куба Най­ди­те угол между пря­мы­ми и

Угол между прямой и плоскостью

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре най­ди­те угол между ме­ди­а­ной грани и плос­ко­стью Длины всех ребер пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды PABCD с вер­ши­ной P равны между собой. Най­ди­те угол между пря­мой BM и плос­ко­стью BDP, если точка M — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды AP. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник Вы­со­та приз­мы равна 3. Най­ди­те угол между пря­мой и плос­ко­стью Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ги­по­те­ну­зой и ка­те­том Вы­со­та приз­мы равна Най­ди­те угол между пря­мой и плос­ко­стью В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны Най­ди­те угол между пря­мой и плос­ко­стью В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ный приз­ме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Най­ди­те угол между пря­мой AC' и плос­ко­стью ACD'.

Угол между плоскостями

В кубе най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми и Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна , а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны ребра: Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD, все ребра ко­то­рой равны 1, най­ди­те синус угла между плос­ко­стью SAD и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку A пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC точка M — се­ре­ди­на ребра SA, точка K — се­ре­ди­на ребра SB. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми CMK и ABC, если SC = 6, BC = 4. Ос­но­ва­ние пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы — пря­мо­уголь­ник , в ко­то­ром Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и равно В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем точка — се­ре­ди­на ребра точка — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и если В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, бо­ко­вые ребра равны 3, точка — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны , а бо­ко­вые рёбра равны . На ребре от­ме­че­на точка так, что . Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и . В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка S — вер­ши­на. Точка M — се­ре­ди­на ребраSA, точка K — се­ре­ди­на ребра SC. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMK и ABC, если AB=8, SC=10.

Доказать и найти

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— се­ре­ди­ны рёбер AA1 и A1C1 со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые BM и MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BMN и ABB1.

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 1 : 2, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 5, а точка T — се­ре­ди­на ребра B1C1. Из­вест­но, что AB = 4, AD = 2, AA1 = 6.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью EFT и плос­ко­стью BB1C1.