Теоретические вопросы к зачету по учебному модулю «Разностные уравнения» (2017 г.)
(II курс, 4 семестр, гр. 5311)
Лектор:
Конечные разности функции одной действительной переменной. Выражение
через 
Выражение 
через 
Решение простейших разностных уравнений первого порядка. Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель Казорати. Необходимый признак линейной зависимости функций. Критерий линейной независимости решений линейного однородного разностного уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля для линейного однородного разностного уравнения (теорема Хеймана). Теорема об общем решении ЛОРУ. Простейшие свойства решений линейного неоднородного разностного уравнения (ЛНРУ). Теорема об общем решении ЛНРУ. Метод вариации произвольных постоянных для ЛНРУ. Понижение порядка ЛОРУ при наличии известных частных решений. Дискретный аналог формулы Абеля. Метод Эйлера решения ЛОРУ с постоянными действительными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений (ФСР) в случае простых действительных корней характеристического уравнения. Метод Эйлера решения ЛОРУ с постоянными действительными коэффициентами. Построение ФСР, когда корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные. Построение ФСР ЛОРУ с постоянными действительными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения. Построение ЛОРУ по заданной ФСР. Лемма о линейной независимости функций 
.
. ЛНРУ с постоянными действительными коэффициентами и правой частью вида 
. Вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи. Приложение теории разностных уравнений к вычислению определителей n – порядка. Примеры. Рекуррентные (возвратные) последовательности. Суммирование членов рекуррентных последовательностей. Формула суммирования по частям. Примеры. Системы разностных уравнений, основные понятия. Канонические системы, нормальные системы. Переход от линейного разностного уравнения к нормальной системе разностных уравнений. Линейные системы. Общее и частное решения. Линейная зависимость и линейная независимость вектор-функций. Определитель Казорати для вектор-функций. Необходимый признак линейной зависимости вектор-функций. Критерий линейной независимости решений ЛОС. Теорема о связи между фундаментальными матрицами ЛОС Теорема об общем решении ЛОС. Простейшие свойства линейной неоднородной системы (ЛНС). Теорема об общем решении ЛНС. Метод вариации произвольных постоянных для ЛНС. ЛНС с постоянными действительными коэффициентами и со специальной правой частью. Построение фундаментальной (ФМ) матрицы ЛОС с постоянными действительными коэффициентами по методу Эйлера в случае простых корней характеристического уравнения. Построение ФМ ЛОС с постоянными действительными коэффициентами по методу Эйлера, когда корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные. Метод Эйлера решения ЛОС в случае кратных корней характеристического уравнения. Обоснование этого метода с помощью матричного способа решения ЛОС. Структура матрицы 
Метод собственных и присоединенных векторов построения ФМ ЛОС с постоянными коэффициентами. Основные понятия теории устойчивости решения разностных уравнений. Устойчивость линейных систем. Устойчивость ЛОС с постоянной матрицей коэффициентов. Сведение решения задачи о расположении корней многочлена внутри единичного круга на комплексной плоскости к критерию Гурвица. Необходимые и достаточные условия расположения корней приведенного квадратного трехчлена внутри единичного круга. Образцы билетов к дифференцированному зачету
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
Кафедра прикладной математики и информатики
Билет № 0
Учебный модуль “Разностные уравнения”
Для направления подготовки 010400 - прикладная математика и информатика
1. Выразить 
через 
2. Понижение порядка ЛОРУ второго порядка, если известно его нетривиальное решение. Аналог формулы Абеля.
3. Решить уравнение 
.
4. Решить уравнение 
.
5. В каком виде можно найти методом неопределённых коэффициентов сумму 
? Ответ обосновать.
6. Вычислить 
.
7. В каком виде можно найти частное решение линейной неоднородной системы
?
Единственно ли решение такого вида? Ответ обосновать.
8. Рекуррентные (возвратные) последовательности. Суммирование членов рекуррентных последовательностей. Примеры.
Утверждаю
Зав. кафедрой ПМИ ____________________
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого
Кафедра прикладной математики и информатики
Билет № 00
Учебный модуль “Разностные уравнения”
Для направления подготовки 010400 - прикладная математика и информатика
Решить уравнение
. Метод вариации произвольных постоянных для ЛНРУ. Решить уравнение 
. Вычислить 
. Сведение решения задачи о расположении корней многочлена внутри единичного круга на комплексной плоскости к критерию Гурвица. Необходимые и достаточные условия расположения корней приведенного квадратного трехчлена внутри единичного круга. Решить систему 
Исследовать систему на устойчивость 
В каком виде можно найти частное решение линейной неоднородной системы
?
Утверждаю
Зав. кафедрой ПМИ ____________________
