Как померять функцию принадлежности

КАК ПОМЕРЯТЬ ФУНКЦИЮ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ1

Институт проблем передачи информации РАН, *****@***ru

Обсуждается вопрос выявления значений функций принадлежности, используя асимпотически оптимальный обучающийся конечный автомат.

Ключевые слова: нечеткая среда, эвристики, аксиоматический подход,  обобщенная цепь Маркова, асимптотическая оптимальность, обучающийся автомат, наблюдаемость, измеримость.

Введение

Аксиоматическая теория нечетких множеств была предложена Л. Заде в его работах [1,2]. С тех пор эта теория привлекает большое внимание как инженеров, так и теоретиков, в силу её возможности отразить определенную нечеткость, присущую высказываниям человека на ту или иную тему. Первым ярким примером использования теории нечетких множеств явилась медицинская экспертная система MYCIN [3] , где из эвристических соображений  была предложена процедура объединения нечеткой информации, поступающей из двух источников и представленной с помощью функций принадлежности  и , пользуясь следующей формулой

    (1)

Эта формула прекрасно согласуется с теорией Л. Заде, но лишь в работе [4]  было показано, что эта формула может быть логически выведена в рамках предложенного тогда нами аксиоматического подхода. При этом было показано, что может быть получен также целый ряд аналогичных формул, иллюстрирующих общий принцип объединения свидетельств, поступающих их нескольких источников. Эти формулы нашли применение в первой динамической экспертной системе, которую автор разработал вместе с для целей сейсмопрогноза, и которая была передана для использования в Институт физики земли РАН [5].

       В нашем случае этот автомат, в отличие от работы [6], был помещен в нечеткую среду, в которой он получал поощрения и наказания в соответствии с некоторыми фиксированными функциями принадлежности.  Напомним, что в блестящей публикации  [6] этот автомат помещался в вероятностную среду, которая выдавала наказания и поощрения в соответствии с некоторыми фиксированными вероятностями.

       Анализ поведения автомата в нечеткой среде стал возможным благодаря работе  [7], в которой было сделано обобщение цепей Маркова на невероятностный случаи.

       В настоящей работе предлагается использовать результаты, полученные в [8,9,] для решения вопроса о том, можно ли построить для теории нечетких множеств некий аналог статистического анализа, чтобы теория нечетких множеств приобрела бы бульшую практическую ценность.        

Описание нечеткой среды для конечного автомата

       Рассматриваемый конечный автомат [6] способен совершать два действия, которые мы обозначим символами 1 и 2. Предполагается, что автомат работает в дискретные моменты времени , получая за свои действия штраф с функциями принадлежности и . Считается, что в каждый момент времени автомат либо получает штраф, в соответствии со своей функцией принадлежности , либо нештраф, т. е. поощрение, с дополнительной функцией принадлежности . При этом среда для автомата является стационарной, т. е. и не меняются со временем.

Рис.1 Автомат с линейной тактикой [6]

       Этот автомат переходит из одного из своих внутренних состояний в другое в зависимости от того, получил ли он штраф (верхний граф) или поощрение (нижний граф). У автомата имеется по n внутренних состояний на левом и правом лучах.

Обозначим функцию принадлежности, с которой совершается действие 1, через , а функцию принадлежности, с которой совершается действие 2,, через .

       В работах [8,9] были получены следующие выражения:

  (2)

  (3)

Так как , то можно найти значение положительной величины , используемой в вышеприведенных выражениях.

       В работах [8,9] показано, что, получая штрафы и нештрафы по описанной нечеткой схеме, автомат, при некотором дополнительном условии, описанном в указанных публикациях, обучается совершать преимущественно наиболее «выгодное» действие. Причем при этих дополнительных условиях для автомата, представленного на рис.1, выполняется свойство асимптотической оптимальности [6].

Таким образом, исследованный обучающийся автомат позволяет установить, верно ли

соотношение  или справедливо обратное, т. е. .

Наблюдаемость функций принадлежности

       Важно обратить внимание на то, что и представляют собой ненаблюдаемые величины, на практике определяющие штраф/нештраф, получаемый автоматом. Если этот штраф/нештраф выдается человеком, то он определяется некими нечеткими соображениями в его голове. В теоретических же разработках эти величины формально выводятся из некоторых других ненаблюдаемых величин. Определенную дискуссию на эту тему читатель может найти в конце публикаций [8,9].

       Величины и не наблюдаемы в том же смысле, как ненаблюдаемой является, например, вероятность некоторого события . Правда, в теории вероятностей есть способ косвенного установления величины после длительного наблюдения за появлением события . Но если событие происходит однократно, то установление величины вообще невозможно! Если же оно происходит небольшое число раз, то  для можно дать лишь примерную оценку.

       Описанная в предыдущем разделе схема с использованием обучающегося автомата совершенно аналогично позволяет установить, каков порядок во множестве , хотя величины, входящие в это множество, сами по себе, остаются ненаблюдаемыми. Точность этого упорядочивания растет с ростом n.        Ясно, что можно построить линейку заранее известных возрастающих величин, и путём сравнения измерить неизвестную величину с заданной точностью.

Литература

1. Zadeh L. Fuzzy sets. Information and Control, № 8, 1065, 338-348.

2. . Тени нечетких множеств. Проблемы передачи информации, Москва, Т.2,  N.1, С. 37-45, 1966.

3.  Shortliff E. H., Computer-based medical consultation: MYCIN. American Elsevier, 1976, 264p.

4. Некоторые аспекты теории экспертных систем, Известия АН СССР. Техническая кибернетика, N.2, С. 85-91, 1987.

5. Поведение квазистатической оболочки  в изменяющей нечеткой среде. Труды IV национальной конференции с международным участием «Искусственный интеллект - 94», Рыбинск, сентябрь 16-24, 1994, Т.1, С.199-203.

6. , Некоторые задачи о поведении конечных автоматов, ДАН СССР, т. 139, № 4, 1961.

7.  , Обобщенные цепи Маркова, Искусственный интеллект и принятие решений, Москва, N.4, С. 95-99, 2011.

8.  Stefanuk. V. L. Behavior of Tsetlin’s Learning Automata in a Fuzzy Environment, Международная конференция WConSC, Баку: Letterpress (Азербайджан), 2012,  P. 511-513.

9. . Математический анализ поведения обучающегося автомата в нечеткой среде. КИИ-2012, БГТУ, Белгород, 2012, Т.3, С. 300-307.

10. . Поведение обучающегося автомата в нечеткой среде. Конгресс IS-IT’12, Дивноморское, М: Физматлит, Т.1, С. 46-52, 2012.

Measuring of memebrship function 

Stefanuk V. L.

Institute for Information Transmission Probels of RAS, *****@***ru

The problem of discovery of membership function value using asymptotically optimal learning finite automata is discussed in the paper.

Кеу words: Fuzzy environment, heuristics, axiomatic approach, Markovian chain, Asymptotic optimality, learning finite automata, observables, measurement.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-07-00209-а) и при поддержке по программе президиума РАН «Информационные, управляющие и интеллектуальные технологии и системы», проект 211.