Задача 1
По 15 наблюдениям получены следующие результаты:
120, 
1240, 
104, 
1004, 
590, 
936, 
5732, 
4841, 
27468, 
30.
1. Оцените коэффициенты линейной регрессии 
.
2. Определите стандартные ошибки коэффициентов.
3. Вычислите 
и 
.
4. Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии и детерминации при уровне значимости 
=0,05.
Решение:
Находим коэффициенты линейной регрессии методом наименьших квадратов.
Число наблюдений 
;
;
Получили линейную регрессию
2)
Записываем матрицу
Обращаем её
Находим дисперсию регрессии
Здесь 
- число объясняющих параметров
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии:
Здесь 
- диагональный элемент обратной матрицы (строки и столбцы нумеруем с нуля).
3)
Общая сумма квадратов
Остаточная сумма квадратов:
Под 
понимают исправленный коэффициент детерминации
4)
Оцениваем статистическую значимость коэффициентов регрессии. Соответственно проверяем гипотезы
против альтернативы 
на уровне значимости 
Статистика критерия:
. Здесь 
-найденные во втором пункте стандартные ошибки коэффициентов регрессии. При нулевой гипотезе она имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы 
.
Гипотезу отвергаем при
-критическая точка соответствующего распределения Стьюдента.
Наблюденные значения
Нулевая гипотеза везде отвергается. То есть, все коэффициенты регрессии значимы.
Проверяем гипотезу статистической значимости коэффициента детерминации
против альтернативы 
Вычисляем 
-статистику
При выполнении предпосылок метода наименьших квадратов и при гипотезе 
эта статистика имеет распределение Фишера. Критическое значение
(нашли в литературе).
, нулевая гипотеза отвергается, 
статистически значим.
Задача 2
Пусть определена регрессия 
, причем 
. При отбрасывании переменной 
и оценке регрессии 
коэффициент 
оказался отрицательным 
. Возможно ли это? Если да, тогда при каких обстоятельствах?
Решение:
Такое возможно, если переменная 
не значима для объяснения 
. Критерий:
Гипотеза 
не отвергается (при некотором разумном уровне значимости). При этом 
объясняется переменной 
, или вовсе не зависит от значений 
и 
Задача 3
Докажите, что график уравнения парной линейной регрессии всегда проходит через точку с координатами 
, где 
- средние значения переменных.
Решение:
Коэффициенты уравнения парной линейной регрессии
, получаемые методом наименьших квадратов находятся как решение системы, первое уравнение которой
Поделив на 
, получим:
Что и означает доказываемое.
