Рабочий лист №13. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Рабочий лист №13.

Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Решением уравнения с двумя неизвестными переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство

Если дано уравнение с двумя переменными Х и У, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной Х, а на второе – значение переменной У.

Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.

Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Способы решения систем

«Графический способ решения систем уравнений»

Пример. Решить систему уравнений графическим способом.

Построим в координатной плоскости графики уравнений системы. Графиком первого уравнения является прямая АВ, а графиком второго – прямая СD. (см. рис 1)

Рис.1

Координаты любой точки прямой АВ являются решением уравнения 2х+3у=5, а координаты любой точки прямой CD являются решением уравнения 3х-у=-9.

Координаты точки пересечения прямых АВ и CD удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, то есть являются решением системы. Графики пересеклись в точке К(-2;3), значит система имеет единственное решение х=-2; у=3, то есть (-2;3). Указанный способ решения называется графическим.

Графиками обоих уравнений системы являются прямые:

эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке - это значит система уравнений имеет единственное решение(как это было в рассмотренном примере); эти прямые могут быть параллельны - это значит система не имеет решений (говорят, что система несовместна); эти прямые могут совпадать, что означает, что система имеет бесконечно много решений (говорят, что система не определена)

Заметим, что графический способ решения системы считают очень наглядным, но решения получаются приближенными.

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно:

  Построить в одной системе координат графики уравнений, входящих в систему;   Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть);   Координаты этих точек и будут решениями системы.

Помните о двух вещах!

Если точек пересечения графиков нет, то система решений не имеет; Координаты точек пересечения определяются приблизительно, поэтому и решения могут получиться приблизительными;

Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!

Рассмотрим алгебраические способы решения.

«Способ подстановки».

Пример1.

Способ подстановки состоит в следующем:

1)Выражаем одну из переменных через другую в одном из уравнений системы:

Например, у через х во втором уравнении у=3х+9

2) Подставим выражение 3х+9 вместо у в первое уравнение

2х+3(3х+9)=5

1) Далее, решая полученное уравнение, находим х.

2х+9х+27=5

11х= -22

Х= -2;

4) Зная х, находим у=3·(-2)+9; у=3.

Покажем, как оформляется описанный алгоритм решения:

Пример2.

Ответ: (-1;1).

Способ сложения.

Рассмотрим систему уравнений,

в которых коэффициенты при одной из переменных либо одинаковы (как в (1)), либо противоположны (как в системе (2)), и постараемся исключить одну из переменных (в (1) системе у) путем вычитания, а во втором х сложением уравнений:

Рассмотрим систему уравнений, уже знакомую нам

Здесь сразу исключить переменную Х или переменную У из обоих уравнений с помощью сложения или вычитания уравнений не удастся. Нужен подготовительный этап:

а) уравняем коэффициенты переменных Х.

Для этого умножим первое уравнение на 3 , а второе умножим на 2:

б) уравняем коэффициенты переменных У. Для этого умножим второе уравнение на 3:

Подходы к решению были разные, а ответы получились одинаковые.

Ответ: (-2;3).

Рассмотренный способ называется способом (алгебраического) сложения (путем сложения или вычитания).

Рассмотрение решения системы двух уравнений с двумя переменными различными способами.

Задания для самостоятельного решения

№1. Решить систему с помощью графического способа:

№2. Решить систему с помощью способа подстановки:

№3. Решить систему с помощью способа сложения: