Задачи

10036. 4.3.3. Радиоактивный изотоп радия испытывает б - распад, в результате чего получается радиоактивный радон . В пробирке объемом V = 1 см3 находятся mRa = 1 мг радия и газообразный радон при температуре T= 300 К. При этом количество радона в пробирке таково, что число его атомов с течением времени остается неизменным. Найти парциальное давление радона в пробирке. Периоды полураспада радия и радона принять равными ф1 = 1600 лет и ф2 = 3,8 суток соответственно.

Решение. Пусть в пробирке находится N10 атомов радия и N20 атомов радона. Тогда, в соответствии с законом радиоактивного распада, число атомов радия и радона через время t после начала наблюдения будет равно

и

соответственно. Найдем скорость изменения числа ядер каждого из изотопов, продифференцировав N1(t) и N2(t) по времени:

Знак «минус» показывает, что число атомов данного изотопа с течением времени уменьшается из-за радиоактивного распада.

По условию задачи, число атомов радона в пробирке с течением времени остается неизменным. Это означает, что модули скоростей распада радия и радона одинаковы, то есть за любой промежуток времени убыль атомов радона при его распаде компенсируется прибылью атомов радона, которые получаются при распаде радия. Так как период полураспада радия на много порядков превышает период полураспада радона, то число атомов радия в течение времени наблюдения также можно считать практически неизменным. Следовательно, условие неизменности числа атомов радона можно записать в виде:

где N1 и N2 - числа атомов радия и радона в пробирке. Данное условие называется условием радиоактивного равновесия (или условием векового равновесия). Оно часто используется при решении задач.

В соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева, искомое парциальное давление радона в пробирке равно

где mRn - масса радона, MRп = 222 г/моль - его молярная масса. Для масс радия и радона можно записать:

где MRa = 226 г/моль – молярная масса радия. С учетом полученного выше условия радиоактивного распада, получаем:

0тсюда для парциального давления радона в пробирке имеем:

Подставляя числа и проверяя размерность, получаем:

Отметим, что полученное в ходе решения этой задачи условие радиоактивного равновесия справедливо только в случае, если период полураспада исходного изотопа намного больше периода полураспада получающегося изотопа.

Ответ.