Модели Фридмана с космологической постоянной

Модели Фридмана с космологической постоянной

Главная Глоссарий

Как отмечалось выше, современные данные убедительно свидетельствуют в пользу наличия значительной доли полной энергии Вселенной в форме космологической постоянной (с эффективным уравнением состояния P = - e) или гипотетической квинтэссенции с -?e > P > - e.

Однородная и изотропная Вселенная может быть описана нестационарной (т. е. зависящей от времени) метрикой специального вида (т. н. метрика Фридмана-Робертсона-Уокера)

(10.10)

где постоянная k определяет одну из трехвозможных глобальных топологий пространства (плоское, , положительной постоянной кривизны, k=+1, отрицательной постоянной кривизны, k= -1).

a(t)- масштабный фактор, единственная зависящая от времени величина.

Замечание. Из вида интервала , где dx2 - элемент координатного расстояния, автоматически получается закон Хаббла. Действительно, как следует из записи для интервала, физическое расстояние есть , т. е. dl = a(t)dx. Пусть координаты точек не меняются, dx = const. Скорость изменения физического расстояния, тем не менее, не равна нулю dх= dldt = da/dtdx = (da/dt)/a(t)(a(t)dx) = б/ad1. Интегрируя вдоль геодезической (т. е. вдоль луча распространения света), получается закон Хаббла: ,

где H=б/a - "постоянная" Хаббла.

Подставляя этот интервал в уравнения ОТО Эйнштейна, получаем уравнения Фридмана для эволюции масштабного фактора. Приведем их без вывода сразу для ненулевой космологической постоянной (которая, вообще говоря, может быть функцией времени). Уравнение энергии:

(10.11)

Уравнение движения:

(10.12)

Уравнение неразрывности:

(10.13)

Замечания

1. В этих уравнениях нет произвольных констант, т. е. при заданной топологии (K=±1.0) и эволюция происходит по определенному закону, зависящему от связи давления и плотности P(с) (уравнение состояния).

2. Обозначим б/a=H - параметр Хаббла, и поделим на H2 обе части уравнения энергии (10.11). Вводя безразмерные переменные записываем уравнение энергии в компактном виде , , для любого момента времени.

(10.14)

3.Космологическая постоянная имеет размерность см.В безразмерной записи современные наблюдения указывают на значение ЩЛ≈ 0,7, откуда следует, что в современную эпоху "плотность энергии вакуума" (именно физический вакуум может играть роль положительной космологической постоянной с P = - сc2 )

Плотность энергии вакуума не изменяется при адиабатическом расширении (это немедленно следует из первого начала термодинамики dE - PdV = 0 и соотношения P = - E/V для вакуума). Плотность энергии вакуума складывается из нулевых колебаний 1/2 зщ во всем диапазоне частот (волновых чисел k = 2р/л ) и для физически разумных масштабов энергии Великого объединения ГэВ см-1 огромна: эВ см-3, то есть на 125 порядков величины больше наблюдаемого значения! Даже, понижая масштаб энергий до физически проверенных в лаборатории масштабов энергии ~ 103 ГэВ, остается колоссальная разница. Эта проблема наблюдаемой малости энергии вакуума (если интерпретировать наблюдения в терминах моделей с космологической постоянной) известна в физике как проблема космологической постоянной и пока не решена.

4.Уравнение (10.12) можно переписать в виде уравнения движения точки на поверхности сферы радиуса R=a с массой M:

(10.15)

Здесь полная "гравитационная масса" равна и отражает упоминавшийся выше факт, что "давление весит" в ОТО. Из уравнения (10.15) следует, что частица на сфере испытывает как действие силы притяжения полной массой M, так и силу отталкивания , которая вызвана положительной космологической постоянной и возрастает с расстоянием. (В теоретически допустимом случае отрицательной космологической постоянной появилась бы дополнительная сила "притяжения", формально похожая на силу, обеспечивающую конфайнмент кварков в адронах). Очевидно, космологическая постоянная динамически важнее только на больших масштабных факторах.

5. Знак пространственной кривизны (т. е. гауссовой кривизны 3-мерной гиперповерхности постоянного времени) не изменяется в ходе эволюции Вселенной, хотя величина ее, разумеется, зависит от времени. Подчеркнем, что топология определяется полной плотностью энергии, которая включает в себя плотность всех видов материи (видимой (барионной) и невидимой (небарионной)). Имеющих положительное давление, и являющихся источником гравитации, и плотность "невидимой энергии" (англ. "dark energy" - космологической постоянной или квинтэссенции) с отрицательным давлением, создающих анти-гравитацию в больших масштабах: . Современные наблюдения дают , т. е. возможный радиус кривизны больше нескольких Хаббловских радиусов см.

6. В интересующем нас случае для пылевидной материи (без давления, P = 0) есть аналитическое решение для роста масштабного фактора

(10.16)

которое гладко переходит от знакомого нам степенного закона роста (a ~ t2/3 ) к стадии экспоненциального расширения (). Красное смещение , на котором происходит смена режима ускорения на замедление, в плоской модели с космологической постоянной (т. е. при ) находится по формуле . Новейшие наблюдательные данные по далеким сверхновым типа Ia (самая далекая SN 1997ff имеет красное смещение ≈1.7) свидетельствуют в пользу плоской модели с ЩЛ≈ 0,7, т. е. красное смещение, начиная с которого Вселенная расширяется с ускорением, всего около (Рис. 10.6).

Рис. 10.6 Разница в модулях расстояния известных космологических сверхновых Ia в различных космологических моделях относительно модели линейно однородно расширяющейся Вселенной ("пустая Вселенная" с Щ = 0 ) (горизонтальная линия). До красных смещений Z = 1 индивидуальные сверхновые усреднены. Для каждой модели отмечена точка (черный квадрат), в которой ускорение сменяется замедлением. Свет от самой далекой SN1997ff был испущен в тот момент, когда Вселенная расширялась с замедлением.